1、第二章函数、导数及其应用知识点一 函数与映射的概念 1函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x)，xA.2映射的定义设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射1(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数yx1是相等函数的是(B)Ay()2 By1Cy1 Dy1解析：对于A，函数y()2的定义域为x|x1
2、，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C，函数y1的定义域为x|x0，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数2(必修1P25B2改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是(B)解析：A中函数定义域不是2,2；C中图象不表示函数；D中函数值域不是0,2知识点二 函数的三要素及表示方法 1函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的
3、值域显然，值域是集合B的子集2函数的三要素：定义域、值域、对应关系3表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3函数f(x)的定义域为(C)A0,2) B(2，)C0,2)(2，) D(，2)(2，)解析：由题意得解得x0且x2.4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)12.解析：f(2)f(2)2(8)412.知识点三 分段函数 若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数5(2019陕西质量检测)设xR，定义符号函数sgnx则函数f(x)|x|sgn
4、x的图象大致是(C)解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f(x)x，故选C.6函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)则f(f(15)的值为.解析：因为函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(2,2上，f(x)所以f(f(15)f(f(1)f()cos.1函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图象有0个或1个交点2函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则3分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题考向一 函数
5、的概念 【例1】(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A1 B2C3 D4(2)给出下列命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)是一个函数；函数y2x(xN)的图象是一条直线；f(x)lgx2与g(x)2lgx是同一函数其中正确的有()A1个 B2个C3个 D4个【解析】(1)中当x0时，每一个x值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y值有两个，因此不是函数图象，中每一个x值对应唯一的y值，因此是函数图象(2)由函数的定义知正确因为满足f(x)的x不存在，所以不正确又因为y2x(xN)的图象是位于直线y2x上的一群孤立的点，所以不正确又因为f(x)与g(x)的定义域不同，所
6、以也不正确【答案】(1)B(2)A(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓.(2)函数是特殊的映射：当映射f：AB中的A，B为非空数集时，即成为函数.(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余. 有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是.解析：对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域
7、是R，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是.考向二 函数的定义域 【例2】(1)函数f(x)ln的定义域为()A(，42，)B(4,0)(0,1)C4,0)(0,1)D4,0)(0,1(2)若函数yf(x)的定义域是0,2 018，则函数g(x)的定义域
8、是()A1,2 017 B1,1)(1,2 017C0,2 018 D1,1)(1,2 018【解析】(1)由解得4x0或0x1，故函数f(x)的定义域为4,0)(0,1)，故选C.(2)使函数f(x1)有意义，则0x12 018，解得1x2 017，故函数f(x1)的定义域为1,2 017所以函数g(x)有意义的条件是解得1x1或1x2 017.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 017【答案】(1)C(2)B本例(2)中，若将“函数yf(x)的定义域为0，2 018”改为“函数f(x1)的定义域为0,2 018”，则函数g(x)的定义域为2,1)(1,2_016解析：由函数f(x1)
9、的定义域为0,2 018得函数yf(x)的定义域为1,2 017，令则2x2 016且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 016(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解. (1)已知函数f(x)的定义域为3,6，则函数y的定义域为
10、(B)A，) B，2)C(，) D，2)(2)若函数y的定义域为R，则实数m的取值范围是(D)A(0，B(0，)C0，D0，)(2)要使函数的定义域为R，则mx24mx30恒成立当m0时，得到不等式30，恒成立；当m0时，要使不等式恒成立，需即或即解得0m.由得0m.故选D.考向三 函数的解析式 【例3】(1)已知f(x)是一次函数，且ff(x)x2，则f(x)()Ax1 B2x1Cx1 Dx1或x1(2)已知f(2x1)34x，则f(x)_.(3)若函数f(x)对任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，则f(x)_.【解析】(1)f(x)是一次函数，设f(x)kxb，又ff(x)x2，可得k
11、(kxb)bx2.即k2xkbbx2，k21，kbb2，解得k1，b1.则f(x)x1.故选A.(2)法1：(换元法)设t2x1，则x，代入原函数得，f(t)3412t，则f(x)12x.法2：(配凑法)因为f(2x1)34x12(12x)12(2x1)，所以f(x)12x.(3)因为2f(x)f(x)3x1，所以2f(x)f(x)3x1，则3f(x)3x3，所以f(x)x1.【答案】(1)A(2)12x(3)x1求函数解析式常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类
12、型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)x(x1)(2)(2019合肥模拟)已知f(x)的定义域为x|x0，满足3f(x)5f1，则函数f(x)的解析式为f(x)x(x0)解析：(1)1x0，0x11，f(x)f(x1)(x1)1(x1)x(x1)故当1x0时，f(x)x
13、(x1)(2)用代替3f(x)5f1中的x，得3f5f(x)3x1，35得f(x)x(x0)考向四 分段函数 方向1求值问题【例4】(2019石家庄市模拟)已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，则f(f(3)()A2 B2C3 D3【解析】由题意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，联立，结合0af(x)的x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，)(，)C(，)(2，)D(，1)(，)【解析】由题意，x0时，f(x)递增，故f(x)f(0)0，又x0时，x0，故若f(x22)f(x)，则x22x，且x220，解得x2或x1，则f(x)x12，易知y2|xa|在(a，)上递增，在
14、(，a)上递减，若a0时，若f(a)3，则log2aa3，解得a2(满足a0)；当a0时，若f(a)3，则4a213，解得a3，不满足a0，所以舍去于是，可得a2.故f(a2)f(0)421.故选A.2(方向2)设函数f(x)若f(f(a)3，则实数a的取值范围是(D)A(， B，)C， D(，解析：令f(a)t，则f(t)3等价于或解得t3，则f(a)3等价于或解得a，则实数a的取值范围是(，故选D.3(方向3)(2019北京西城模拟)已知函数f(x)若c0，则f(x)的值域是；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是.解析：若c0，由二次函数的性质，可得x2x，f(x)的值域为；若f(x)
15、值域为，x2时，x2x2且x时，x2x，要使f(x)的值域为，则得c1，实数c的取值范围是.看穿取整函数取整函数是指不超过实数x的最大整数，称为x的整数部分，记作x或INT(x)，例如2.33，3.23，该函数被广泛应用于数论、绘图和计算机领域最近几年，取整函数的相关问题在高考中常常以信息题的形式出现，成为高考的一个热点，主要考查取整函数的定义以及其运算性质，今天我们就通过一些例题来研究一下取整函数，希望同学们掌握好这类问题常用的处理方法对于函数f(x)x，当0x1时，x0；当1x2时，x1；当2x3时，x2；当3x4时，x3；所以函数f(x)x的图象如图所示：典例1设x表示不大于实数x的最大
16、整数，则对任意的实数x，有()AxxBxxC2x2x Dxx2x【解析】取特殊值进行判断，当x1.1时，x2，x1，故A错误；当x1.1时，x2，x0.61，故B错误；当x1.9时，2x3,2x2，故C错误由排除法，故选D.【答案】D【点评】本题主要考查新定义问题的探究方法，借助取整函数的定义，取特殊值进行判断典例2已知x为实数，x表示不超过实数x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为()A奇函数 B偶函数C增函数 D周期函数【解析】当0x1时，x0，f(x)xxx0x；当1x2时，x1，f(x)xxx1；当2x3时，x2，f(x)xxx2；当3x4时，x3，f(x)xxx3；当1x0时，x1，f(x)xxx1；当2x1时，x2，f(x)xxx2；所以可作出函数f(x)的图象如图所示由图象可知，f(x)在R上为周期函数，故选D.【答案】D 已知f(x)xx，其中x表示不超过实数x的最大整数，若x，则f(x)的值域为0,1,2,3解析：当x时，2，xx(2)3；当x1时，x2，xx2x2；当x1时，11，xx1(1)1；当1x0时，x1，xxx0；当x0时，00，xx000；当0x1时，x0，xx00；当x1时，11，xx111；当1x时，x1，xxx1；当x时，1，xx11.所以f(x)的值域为0,1,2,3.