1、（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学（理）试题）11.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题中条件求出圆锥的高和底面圆半径，再由圆锥的内切球和圆锥底面以及母线都相切，列出等式，可求出球的半径，进而可得出结果.【详解】将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆半径为，则有，所以，设圆锥的内切球半径为，结合圆锥和球的特征，可知：内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为，因为圆锥母线长为3，所以，所以有，解得，因此内切球的表面积为.故选B【点睛】本题主要考查圆锥内切球的相关计算，
2、只需先求出圆锥的底面圆半径和高，再结合圆锥与球的结构特征，即可求出结果，属于常考题型.（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学（理）试题）8.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 2 B. C. 6 D. 8【答案】A【解析】【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体
3、积公式即可求解，属于常考题型.（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）9.如图1，已知正方体ABCDA1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由三棱锥的俯视图分析可知,此时为的中点,与点重合,与点重合所以正视图面积等于故B正确考点：三视图（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）10.已知三棱锥P-ABC中，且，则该三棱锥的外接球的体积等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可求出
4、外接圆的半径，设外接圆的圆心为，根据题意可得三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，结合勾股定理可求得球的半径，于是可得外接球的体积【详解】如图，设外接圆的圆心为，半径为，则，由题意得球心在过且与平面垂直的直线上，令，则，设球半径为，则在中有，在中有，由两式得，所以，所以该三棱锥的外接球的体积为故选A【点睛】解答几何体的外接球的问题时，关键在于如何确定外接球球心的位置和半径，其中球心在过底面多边形的外接圆的圆心且与底面垂直的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等，再在直角三角形中结合勾股定理求解可得球的半径（北京市海淀区2019届高三4月期中练习（一模）数学文试题）6.某四棱锥的三视图如
5、图所示，其中，且.若四个侧面的面积中最小的为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意还原几何体，表示最小面积即可得到a值.【详解】解：该几何体如下图所示，因为，所以，三角形APD的面积最小，即，所以，解得：故选：B【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断相关几何量的数据是解答问题的关键（山东省济南市2019届高三3月模拟考试理科数学试题）9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） 主视图 左视图 俯视图A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原几何体为四棱锥，分别求出每个面的面积，得到表面积.【详解】根据三
6、视图可知原几何体为四棱锥，其表面积为故选B项.【点睛】主要考查了将三视图还原出原几何体，属于简单题.（陕西省汉中市略阳天津高级中学、留坝县中学、勉县二中等12校2019届高三下学期校级联考数学（文）试题）8.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，由三视图知
7、几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，如图：正方体的体积为，半圆柱的体积为，从而其体积为，故选B（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）10.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，则该四面体外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在空间坐标系里画出四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外接球的半径，再求外接球的表面积.【详解】如图，在空间坐标系里画出四个点，可得,面,因此可以把四面体补成一个长方体，其外接球的半径所以，外接球的表面积为，故选B项.【点睛】本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进行
8、补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题.（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考）数学（理）试题）16.在四面体中，二面角的大小为，则四面体外接球的半径为_.【答案】【解析】画出图象如下图所示,其中为等边三角形边的中点,为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方,也在点的正上方.依题意知,在中,所以外接圆半径.（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考）数学（理）试题）3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） 正视图 侧视图俯视图A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由三视图可判断该几何体为三棱锥，结合三棱锥的
9、体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，且底面为直角三角形，直角边分别为1和2，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体体积问题，首先由三视图还原几何体，再由体积公式求解即可，属于常考题型.（福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数学(理科)适应性练习（一）7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先还原几何体，再根据正方体以及三棱锥体积公式求结果.【详解】本题的多面体是从长为2的正方体中，在上底的四个角处，分别
10、切割四个相同的三棱锥余下的部分. 正方体体积为，割去部分的体积为，故该多面体的体积为. 选C.【点睛】本题考查三视图以及三棱锥体积公式，考查基本分析求解能力，属基本题.（福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数学(理科)适应性练习（一）10.已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，则球的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，为直角，即过ABC的小圆面的圆心为BC的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径R=2，球的表面积为，故选C（福建省2019届高三毕业班备考关键问题指
11、导适应性练习（四）数学(文)试题）9.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形则该几何体的表面积为( )A. 6 +12B. 16 +12C. 6 +12D. 16 +12【答案】B【解析】【分析】由题中所给的三视图画出此几何体的直观图，可知该几何体为三棱台，且上、下底面均为等腰直角三角形，一条侧棱垂直于底面，求出其表面积即可.【详解】此几何体的直观图如图所示可知此几何体为三棱台上、下底面均为等腰直角三角形，直角边长分别为2和4，侧棱平面ABC，且=2棱台3个侧面均为直角梯形，且，所以此几何体的表面积为 ，故B正确【点睛】该题考查的是有关几何体的三视
12、图的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，求几何体的表面积，属于中档题目.（福建省2019届高三毕业班备考关键问题指导适应性练习（四）数学(文)试题）11.已知正三棱锥中，分别是，的中点，若，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】B【解析】【分析】由正三棱锥的性质、线面垂直的判定定理证明侧棱PA，PB，PC两两垂直，从而得到正三棱锥的外接球也是以为棱长的正方体的外接球，利用正方体的体对角线是外接球的直径，求出半径，进而求得球的表面积，得到结果.【详解】因为E，F分别是AC，PC的中点，则，因为是正三棱锥，所以（对棱垂直），所以，又EFBF，而，所以面，
13、所以面，所以，以为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，又，所以，所以，故外接球的半径为，所求表面积，故选B.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有补体以及正方体的外接球的表面积，属于简单题目.（甘肃、青海、宁夏2019届高三3月联考数学（理）试题）7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A. 32B. 40C. D. 【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详
14、解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选：C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题（安徽省安庆市2019届高三模拟考试（二模）数学文试题）5.如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，一只蚂蚁从点出发沿每个侧面爬到，路线为，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出棱柱的侧面展开图，由图可得最短距离为对角线的长，利用勾股定理即可求.【详解】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为，则其对角线的长为最短程. 因此蚂蚁爬行的最短路程为. 故选:A.
15、【点睛】本题考查利用侧面展开图求最短路程，掌握把空间图形展开转化为平面图形的解决方法，是基础题（安徽省安庆市2019届高三模拟考试（二模）数学文试题）11.如图是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位：）求得该几何体的表面积是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体,利用表面积公式计算即可得到答案.【详解】由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个半径为3的八分之一的球体.则几何体的表面积为故选:A.【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.（安徽省蚌埠市2019
16、届高三第一次教学质量检查考试数学（文）试题）11.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点在俯视图上的对应点为，三棱锥表面上的点在左视图上的对应点为，则线段的长度的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出几何体的直观图，判断的位置，然后结合直观图可求线段的长度的最大值【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角三角形，一条侧棱与底面垂直（平面），为几何体的直观图如图，在上，重合，当与重合时，线段的长度的最大值为故选D【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，
17、也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.（广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题）9.某几何体的三视图如图所示，若图中，则该几何体的体积为A. 2B. 1C. 4D. 6【答案】A【解析】【分析】根据三视图知几何体为四棱锥，且侧棱垂直于底面，由图中数据可求该几何体体积【详解】根据三视图知该几何体为四棱锥，且侧棱底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，画出直观图，如图所示；由图中数据，计算几何体的体积为：故选：A【点睛】解答此类题目的关键
18、是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.（广东省东莞市2019届高三第二学期第一次统考模拟考试文科数学试题）16.圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是_【答案】【解析】【分析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，求出CD长，根据垂径定理求出PC=2CD，即可得出答案【详解】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，过A作ADPC于D，弧PC的长是21=2，则侧面展开图的圆心角
19、是，DAC=，AC=3，所以.即蚂蚁爬行的最短路程是.故答案为：.【点睛】考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决（广东省东莞市2019届高三第二学期第一次统考模拟考试文科数学试题）10.三棱锥中，平面ABC，的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，由的面积为2，得，进而得到外接圆的半径和到平面的距离为，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解.【详解】如图所示，设，由的面积为2，得，因为，外接圆的半径，因
20、为平面，且，所以到平面的距离为，设球的半径为R，则，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D.【点睛】本题主要考查了有关球与棱锥的组合体问题，以及球的性质的应用和球的体积公式，其中解答中正确认识组合体的结构特征，合理应用球的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三（上）期末数学试题（文科）16.设为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球O的表面积为_【答案】【解析】【分析】设球的半径为，圆柱下底
21、面半径为,为一个圆柱下底面的中心，根据圆柱的几何特征，可得，解出半径，则球的表面积可求【详解】解：设球的半径为，圆柱上下底面半径为，为一个圆柱下底面的中心，由题意知得，与底面所成角为，在 中,根据圆柱的几何特征，即 .故该球的表面积，故答案为：【点睛】本题考查圆柱外接球的表面积，根据已知求出球的半径是解答该题的关键，是基础题（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三（上）期末数学试题（文科）5.如图所示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔若随机向铜片上滴一滴水水滴的大小忽略不计，则水滴正好落人孔中的概率是A. B.
22、C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用题意将原问题转化为面积比值的问题，整理计算即可求得结果【详解】利用面积型几何概型公式可得，圆形铜片的面积，中间方孔的面积为，油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，即油滴正好落入孔中的概率为故选：D【点睛】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三（上）期末数学试题（文科）9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成，利用圆锥与圆柱的表面积公式求解即可.【详
23、解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成该几何体的表面积故选：A【点睛】本题考查了三视图还原几何体，考查了旋转体的表面积公式，考查了空间想象与运算能力，属于简单题（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三上学期期末理科数学试题）5.如图所示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔若随机向铜片上滴一滴水水滴的大小忽略不计，则水滴正好落人孔中的概率是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用题意将原问题转化为面积比值的问题，整理计算即可求得结果【详解】利用面积型几何概型公式可得，圆形铜片的面积，中间
24、方孔的面积为，油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，即油滴正好落入孔中的概率为故选：D【点睛】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三上学期期末理科数学试题）8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成，利用圆锥与圆柱的表面积公式求解即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成该几何体的表面积故选：A【点睛】本题考查了三视图还原几何体，考查了旋转体的表面积公式，考查了空间想象
25、与运算能力，属于简单题（河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题）6.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A. 32B. 40C. D. 【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选：C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题（河南省郑州市2019年高三第二次质量检测数学（文）试题）8.某几何体的三视图如
26、下图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图可知几何体是如图的四棱锥，由正视图可得四棱锥底面四边形中几何量的数据，再由侧视图得几何体的高，把数据代入棱锥的体积公式计算【详解】由三视图知：几何体是四棱锥S-ABCD，如图：四棱锥的底面四边形ABCD为直角梯形，直角梯形的底边长分别为1、2，直角腰长为2；四棱锥的高为，几何体的体积V故选A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及所对应几何量的数据是解题的关键（湖南省邵阳市2019届高三上学期10月大联考理科数学试题）8.已知三棱锥底面的3个顶点在球的同一个大圆上，且为正三
27、角形，为该球面上的点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意正三棱锥PABC的四个顶点都在同一球面上，从而三角形ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，利用正三棱锥PABC求得球的半径，即可求出球O的表面积【详解】正三棱锥PABC的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上因为题目中涉及到体积最大值，故ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，设为R，底面三角形的边长设为a，由正弦定理得到，三角形的面积为，椎体的体积为 则球O的表面积是4R2=44=16故答案为：B【点睛】与球有关
28、的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.（湖南省岳阳市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题）6.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算该几何体的底面积，结合体积计算公式，即可。【详解】结合题意，绘制图像，如图所示平
29、面DEF的面积为，故该几何体的体积，故选B。【点睛】考查了三视图还原直观图，关键绘制出该几何体的图形，结合体积计算公式，即可，难度中等。（吉林省吉林市普通中学2019届高中毕业班第三次调研测试数学（文科）试题）5.某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积为2，则正视图的面积（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥PABCD，其中底面BADC为直角梯形，ADBC，ABAD，AB2，BC1，AD2，PA底面ABCD即可得出【详解】由三视图可知：该几何体为四棱锥PABCD，其中底面BACD为直角梯形，ADBC，ABAD，AB2，BC1，AD2，P
30、A底面ABCD2，解得x2正视图的面积S2故选A【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，考查了四棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题（吉林省吉林市普通中学2019届高中毕业班第三次调研测试数学（文科）试题）10.已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径长为（ ）A. 5B. C. 9D. 3【答案】B【解析】【分析】由已知中圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得答案【详解】圆锥的底面半径r4，高h3，圆锥的母线l5，圆锥侧面积Srl20，设球的半径为r，则4r
31、220，r故选：B【点睛】本题考查了圆锥侧面积公式的应用，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键（吉林省吉林市普通中学2019届高三第三次调研测试理科数学试题）5.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，则底面积为，侧棱长为，则可求侧面积为，所以可得表面积.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以，AB=AC=BC=，所以,又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则,则在等腰中,所以侧面积为，所以表面积为，故选A.【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还
32、原出立体图是解题的关键，属中档题.（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试数学试题）10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2 m，PB = 3 m，PC = 4 m，则球O的表面积为_m2【答案】【解析】【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积【详解】P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长PA = 2 m，PB =
33、 3 m，PC = 4 m，2R则球O的表面积S4R229故答案为【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O的半径，是解答本题的关键，是基础题（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一）文科数学试题）14.一个圆锥的轴截面是个边长为2的正三角形，这个圆锥的侧面积等于 .【答案】2.【解析】试题分析：圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，底面半径为1，底面周长为2，圆锥的侧面积=，故答案为：2考点：圆的周长公式和扇形面积公式；圆锥的轴截面；圆锥的侧面积.（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一）文科数学试题）11.已知球表面上的四点
34、满足，若四面体体积的最大值为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据四面体体积的最大值求得四面体高，利用勾股定理列方程，解方程求得球的半径，由此求得球的表面积.【详解】直角三角形的面积为，设四面体的高为，则.由于三角形为直角三角形，斜边，球心在过中点，且垂直于平面的直线上.设球的半径为，则，解得，故球的表面积为.【点睛】本小题主要考查四面体的体积公式，考查几何体外接球表面积的求法，属于中档题.（山东省济南市2019届高三3月模拟考试数学（文）试题）8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）主视图 左视图 俯视图A. B. C. D. 【答
35、案】B【解析】【分析】根据三视图得到原几何体，再根据几何体的特点，得到外接球的半径，得到表面积.【详解】根据三视图得到原几何体，如图所示，为一个四棱锥，可以看成正方体的一部分，所以其外接球的半径为，所以外接球的表面积【点睛】本题考查三视图还原几何体，并根据其特点求外接球半径和表面积，是中档题.（山东省济南市2019届高三3月模拟考试数学（文）试题）12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平
36、面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体： 图是底面直径和高均为的圆锥；图是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图是底面边长和高均为的正四棱锥；图是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水平截面的面积相等的，即为所求.【详解】几何体是由阴影旋
37、转得到，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为，切线对应的横坐标为，切线为，即，横截面面积 图中的圆锥高为1，底面半径为，可以看成由直线绕轴旋转得到横截面的面积为.所以几何体和中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选A项.【点睛】本题考查对题目条件的理解和转化，在读懂题目的基础上，表示相应的截面面积，然后进行比较.属于难题.（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为122 1.故答
38、案为; C.（山东省泰安市2019届高三一轮复习质量检测数学（理）试题）14.如图是某几何体的三视图，该几何体的体积为_【答案】12【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱柱，用垂直于侧棱的平面截三棱柱所得截面图形是侧视图，根据侧棱长即可求出该三棱柱的体积【详解】由三视图知，该几何体是一个三棱柱，如图所示；用垂直于侧棱的平面截三棱柱，所得截面图形是侧视图，又侧棱长为3，则该三棱柱的体积为侧棱长故答案为：12【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，考查空间思维能力，是基础题（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）11.所有棱长均为 的正四棱锥外接球表面积为（
39、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式求解即可.【详解】如图，设正四棱锥的底面中心为O，则在中，所以，在中，所以正四棱锥的各个顶点到它的底面中心的距离都为，所以正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径为，所以球的表面积，故选C.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的有关问题，涉及到的知识点有正四棱锥的外接球，球的表面积公式，在解题的过程中，正确找出球心的位置是解题的关键.（四川省凉山州市2019届高三第二次诊断性检测数学（理科）试题）6.如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的外接
40、球的表面积为（ ） 正视图 侧视图俯视图A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图可得到原图是个三棱锥，通过分析知道球心是PB的中点，进而得到球的半径.【详解】根据三视图可知原图是一个斜着的三棱锥，原图是下图中的三棱锥P-ABC,根据正方体的侧棱BC垂直于面PC得到BC垂直于PC，故角PCB为直角，同理角PAB也为直角，故PB的中点记为O，就是外接球的球心，半径是PB的一半，故答案为：B.【点睛】这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三视图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有
41、：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试文科数学试题）10.在四面体中，已知，,且平面，则该四面球的表面积（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】证得三角形和三角形都为直角三角形，由此得到外接球的球心在的中点，计算的长由此求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】由于所以，而平面故，所以平面，所以即得到三角形和三角形都为直角三角形，所以外接球的球心在的中点，故外接球半径，所以外接球的表面积为，故选B.【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，属于中档题，解题关键点在于找到球心和求出半径.球心的位置可以利用
42、球心到几何体各个顶点的距离相等来求得.（广东省六校2019届高三第三次联考理科数学试题）8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为.【详解】解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，由三视图可得外接球半径为所以表面积为 故选：C【点睛】本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题.（河北省省级示范性高中联合体2019届高三3月联考数学（文）试题）7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16
43、等于如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A. 32B. 40C. D. 【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选：C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题（河北省省级示范性高中联合体2019届高三3月联考数学（文）试题）11.在棱长为的正方体中，为棱上一点，且到直线与的距离相等，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.
44、 【答案】D【解析】【分析】由题，先确定F的位置，由互相垂直，构造以为棱的长方体，求其外接球半径即可求得球的表面积【详解】过做面B,面NF,FN为到直线的距离，则,设解得x=,互相垂直, 以为棱的长方体球心即为O，则球的表面积为4故选：D【点睛】本题考查椎体的外接球，明确点F的位置是突破点，构造长方体是关键，是中档题（河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学（理）试题）6.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. 4B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】还原三视图为一个正方体中的一个四棱锥，依据题中数据即可得解。【详解】如下图，该几何体是边长为2的正方体中的一个四棱锥所以
45、，故选：D【点睛】本题主要考查了三视图还原知识及锥体体积计算，考查空间思维能力，属于基础题。（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）9.如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体上下两部分的体积比为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求体积比.【详解】几何体上部分为一个三棱柱（底面为高为1，底为4的等腰三角形，柱体高为4），下部分为一个长方体（长宽高分别为4，3，4），因此几何体上下两部分的体积比为，选C.【点睛】若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解体积.（广
46、东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）11.已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知SA与圆锥底面所成的角为45，则圆锥的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求的边长，即圆锥的母线长，再根据SA与圆锥底面所成的角求底面半径，最后根据圆锥侧面积以及底面积公式求结果.【详解】设圆锥的母线长为由题意得因为SA与圆锥底面所成的角为45，所以圆锥的底面半径为因此圆锥的表面积为，选C.【点睛】本题考查圆锥的母线长以及圆锥侧面积，考查基本分析求解能力.属基本题.（广东省揭阳市2019届高三一模数学（理科）试题）15.已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两
47、点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为_.【答案】【解析】【分析】先根据等边面积为，求母线长，再根据轴截面的面积为8，求得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式以及底面积求圆锥的表面积.【详解】因为等边面积为，所以，因为轴截面的面积为8，所以，从而圆锥的表面积为【点睛】本题考查圆锥侧面积公式以及轴截面，考查基本分析求解能力.属基本题.（广东省揭阳市2019届高三一模数学（理科）试题）7.如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. B. 52C. D. 56【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求
48、体积.【详解】几何体上部分为一个三棱柱（底面为高为1，底为4的等腰三角形，柱体高为4），下部分为一个长方体（长宽高分别为4，3，4），因此几何体的体积为，选D.【点睛】若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解体积.（陕西省四校联考2019届高三12月模拟数学试卷（文科）试题）16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面
49、直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，当且仅当时“”成立三棱柱的体积故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解（江西省红色七校2019届高三第一次联考数学（文）试题）16.
50、菱形边长为，将沿对角线翻折使得二面角的大小为，已知、四点在同一球面上，则球的表面积等于_【答案】【解析】如图，点分别为外接圆的圆心，点为球心，因为菱形边长为，所以，故答案为.（陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学（文）试题）16.如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为_【答案】4【解析】【分析】设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理，得出，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值【
51、详解】设正四棱柱的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，由勾股定理得，即，得，其中，所以，正四棱柱的体积为，其中，构造函数，其中，则，令，得当时，；当时，所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则因此，该正四棱柱的体积的最大值为4【点睛】本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题（陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学（文）试题）8.已知正三棱柱的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点，则该蚂蚁走过的最短路径为A. B
52、. 25C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得故选：B【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法（湖南师大附中2019届高三月考试题（七） 数学（理）10.在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过
53、，三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案【详解】如图，延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1 于H，延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1 于G，可得截面五边形AHFEGABCDA1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，EF3，AGAH，EGFH截面的周长为故选：D【点睛】本题考查了棱柱的结构特征及立体几何中的截面问题，补全截面图形是关键，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题（江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试数学
54、（理）试题）15.一个棱长为的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的体积的最大值是_.【答案】【解析】【分析】由题正四面体在铁盒内任意转动，故其能在正方体的内切球内任意转动，该正四面体的体积的最大值时，该球是正四面体的外接球，设正四面体棱长为a,将正四面体放入棱长为x的正方体，得a,x的关系，即可求出a,再利用正四面体体积公式求其体积即可【详解】由题该正四面体在铁盒内任意转动，故其能在正方体的内切球内任意转动，内切球半径为6，设正四面体棱长为a, 将此正四面体镶嵌在棱长为x的正方体内，如图所示：则x=，外接球的球心和正方体体心O重合，外接球的球半径
55、为：=6,a=4又正四面体的高为该正四面体的体积为故答案为【点睛】本题考查球的组合体，转化化归思想，将题目转化为求正方体内切球的内接正四面体是关键，解决正四面体的有关问题，放入正方体研究是常见方法，是中档题（江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题）9.若某几何体的三视图如图所示，其中主视图与侧视图都是边长为的正方形，则该几何体的体积为（ ） 主视图 侧视图 俯视图A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将三视图还原，即可求体积【详解】由题将三视图还原成如图所示的几何体：棱长为1的正方体，截去一个三棱柱和两个三棱锥所剩的四棱锥E-ABCD为所求则四棱锥E-ABCD的体积
56、为 故选：D【点睛】本题主要考查三视图，椎体的体积，准确还原三视图是关键，是基础题（江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试数学（文）试题）15.已知正方体的棱长为，平面与对角线垂直且与每个面均有交点，若截此正方体所得的截面面积为，周长为，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由题意平面与对角面平行，作出图象，为六边形，利用六边形边得周长为定值，再根据对称性与单调性确定的最大值，即得的最大值【详解】因为平面与对角线垂直，所以平面与对角面平行，作出图象，为六边形,设则,所以，由对称性得平面过对角线中点时截面面积取最大值为，则的最大值为.【点睛】本题考查截面以及线面关系，考查空间想象能力以及基本
57、求解能力,属基本题.（江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试数学（文）试题）10.已知图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）主视图 侧视图 俯视图 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体与锥体体积公式求结果.【详解】几何体为一个半圆柱（底面为半径为1的半圆，高为2）与一个四棱锥（底面为边长为2的正方形，高为1）的组合体,如图，所以体积为，选C.【点睛】本题考查三视图以及柱体与锥体体积公式，考查空间想象能力以及基本求解能力,属基本题.（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学（理）试题）7.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面三角形中为直角三
58、角形的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥PABC，其中PC底面ABC，底面ABC是一个三边分别为，2的三角形，PC2利用勾股定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理即可判断出结论【详解】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥PABC，其中PC底面ABC，底面ABC是一个三边分别为，2的三角形，PC2由，可得A90又PC底面ABC，PCBC，PCAC由三垂线定理可得：ABAC因此该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为4故选：D【点睛】本题考查了三棱锥的三视图及结构特征，考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理，考查了推理能力与计算
59、能力，属于中档题（四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题）5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是【答案】B【解析】试题分析：由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确考点：三视图【此处有视频，请去附件查看】（四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题）10.三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理计算出ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案【详解】解：由于ABBCAC3，则ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，ABC的外接圆直径为，由于SA底面ABC，所以，ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，因此，三棱锥SABC的外接球的表面积为4R2421故选：C【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题