1、河南省新乡、许昌、平顶山2013届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2009北京）设集合，则AB=（）Ax|1x2BCx|x2Dx|1x2考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法3930094分析：根据题意，分析集合B，解x21，可得集合B，再求AB的并集可得答案解答：解：，B=x|x21=x|1x1，AB=x|1x2，故选A点评：本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法属于基础知识、基本运算的考查2（5分）在复平面内复数，对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C
2、对应的复数是（）A1BCiDi考点：复数的代数表示法及其几何意义3930094专题：计算题分析：由复数的代数运算可化简AB的坐标，进而由中点坐标公式可得C的坐标，可得对应的复数解答：解：=，同理可得=，由中点坐标公式可得C：=故点C对应的复数是故选B点评：本题考查复数的代数运算和几何意义，属基础题3（5分）（2012许昌县一模）设函数，xR，则f（x）是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数考点：余弦函数的奇偶性；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法3930094专题：综合题分析：先利用诱导公式将原函数变换为f（x）=cos2x，再利用
3、y=Acos（x+）的周期公式和偶函数的定义证明函数的周期性和奇偶性即可解答：解：函数=cos2xf（x）=cos（2x）=cos2x=f（x）且T=函数f（x）是最小正周期为的偶函数故选B点评：本题考察了三角函数的图象和性质，y=Acos（x+）型函数的周期性和奇偶性的判断方法4（5分）（2012许昌县一模）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）ABCD考点：由三视图求面积、体积3930094专题：计算题分析：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积解答：解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角
4、梯形，边长分别为：3，2，1，；高为：1；上部是正方体，也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：313+=，故选C点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，转化思想的应用5（5分）（2012许昌县一模）下列命题中的假命题是（）Ax0R，sinx0+cosx0=Bx0R，tanx0=2013Cx0，xlnxDxR，2x0考点：特称命题；全称命题3930094专题：计算题分析：利用三角函数的值域的范围判断A的正误；正切函数的值域判断B的正误；对数函数的性质判断C的正误；指数函数的性质判断D的正误；解答：解：对于A，sinx0+cosx0，所以
5、A不正确；因为y=tanxR，所以B正确；因为x=lnexlnx，当x0恒成立，所以C正确；由指数函数的性质可知D正确故选A点评：本题考查函数的基本性质，函数的单调性，特殊命题与全称命题的判断，考查基本知识的应用6（5分）（2013梅州二模）已知，向量与垂直，则实数的值为（）ABCD考点：平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系3930094专题：计算题分析：先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数的值解答：解：已知，向量与垂直，（）（）=0，即：（31，2）（1，2）=0，3+1+4=0，=故选A点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质
6、，求得3+1+4=0，是解题的关键7（5分）（2012许昌县一模）如果双曲线（m0，n0）的渐近线方程渐近线为y=x，则双曲线的离心率为（）ABCD考点：双曲线的简单性质3930094专题：计算题；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线方程得a=，b=结合双曲线的渐近线方程，得a=2b，即m=4n，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率解答：解：双曲线方程为（m0，n0）a2=m，b2=n，得a=，b=因此双曲线的渐近线方程y=x，即y=x=，得m=4n，所以c=双曲线的离心率e=故选：D点评：本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概
7、念和简单几何性质等知识，属于基础题8（5分）（2012许昌县一模）若是锐角，且cos（）=，则sin的值等于（）ABCD考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系3930094专题：计算题分析：由于=（+），利用两角差的正弦即可求得sin的值解答：解：是锐角，+，又cos（）=，sin（+）=sin=sin（+）=sin（+）coscos（）sin=（）=故选A点评：本题考查两角和与差的正弦，求得sin（+）是基础，考查转化与运算能力，属于中档题9（5分）（2012许昌县一模）某学校对高一新生的体重进行了抽样调查右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的
8、范围是45，70，样本数据分组为45，50），50，55），55，60），60，65），65，70，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是（）A90B75C60D45考点：用样本的频率分布估计总体分布3930094专题：计算题；概率与统计分析：先确定样本容量，再根据被调查的高一新生体重在50kg至65kg的频率，即可求得结论解答：解：由题意可知：被调查的学生中体重不足55kg的频率是（0.04+0.02）5=0.3，样本容量是=120被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是（0.04+0.06+0.05）5120=90故选A点评：
9、本题是对频率、频数运用的简单考查，考查学生的读图能力，属于基础题10（5分）（2012许昌县一模）设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性3930094专题：计算题分析：根据题意，由“a1a2a3”可得数列an是递增数列；当数列an是递增数列，则一定有a1a2a3，可得这两个条件互为充要条件解答：解：an是等比数列，则由“a1a2a3”可得数列an是递增数列，故充分性成立若数列an是递增数列，则一定有a1a2a3，故必要性成立综上，“a1a2a3
10、”是“数列an是递增数列”的充分必要条件，故选C点评：本题考查充分条件、必要条件的定义，递增数列的定义，判断充分性是解题的难点，属于中档题11（5分）（2012许昌县一模）已知一组样本点（xi，yi）其中i=1，2，3，30根据最小二乘法求得的回归方程是=bx+a则下列说法正确的是（）A若所有样本点都在=bx+a上，则变量间的相关系数为1B至少有一个样本点落在回归直线=bx+a上C对所有的预报变量 xi（i=1，2，3，30），bxi+a的值一定与yi有误差D若 =bx+a斜率b0则变量x与y正相关考点：最小二乘法3930094专题：概率与统计分析：根据相关系数绝对值为1时，即r=1，所有样本
11、点都在=bx+a上，可得A错；根据样本点可能全部不在回归直线上，可得B错误；根据所有的样本点都在=bx+a上时，变量之间的关系为函数关系，此时bxi+a的值与yi相等，可判断C错误；根据相关系数r与b符号相同，故b0可得变量x与y正相关，可判断D正确；解答：解：所有样本点都在=bx+a上，则变量间的相关系数为1，故A错误；回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故B错误；若所有的样本点都在=bx+a上，则bxi+a的值与yi相等，故C错误；相关系数r与b符号相同，若 =bx+a斜率b0，则r0，样本点应分布从左到右应该是上升的，则变量x与y正相关，故D正确；故选D点评：本题
12、考查的知识点是线性回归及最小二乘法，其中熟练掌握最小二乘法的相关基本概念是解答的关键12（5分）（2012许昌县一模）对于0a1的实数a，当x，y满足时，z=x+y（）A只有最大值，没有最小值B只有最小值，没有最大值C既有最小值也有最大值D既没有最小值也没有最大值考点：简单线性规划的应用3930094专题：计算题；数形结合分析：由题意画出约束条件表示的可行域的图形，然后判断目标函数的最值情况解答：解：因为xay=2是恒过（2，0）点的直线系，所以x，y满足，的可行域如图：是三角形ABC的区域，当目标函数经过可行域的B点时，目标函数确定最小值；目标函数经过可行域的A点时，目标函数确定最大值故选C
13、点评：本题考查简单线性规划的应用，注意可行域中直线系与可行域的形状，目标函数经过的特殊点是解题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）（2012许昌县一模）圆心在直线x+2y3=0上且与直线xy1=0切于点B（2，3）的圆的方程为（x3）2+y2=2考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式3930094专题：计算题；直线与圆分析：设出圆心坐标，列方程组解之其中由圆心在直线x+2y3=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y1=0的距离即半径得出另一个方程解答：解：设圆心坐标为（a，b），则，解得a=3，b=0，所以r=，所以要求圆的方程为（x3）2+y2=2故答案为：（x3）2+y
14、2=2点评：本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，圆的方程的求法，考查计算能力14（5分）（2012许昌县一模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=3c2，则cosC最小值为考点：余弦定理3930094专题：计算题；解三角形分析：利用余弦定理可得a2+b2=c2+2abcosC，与已知条件a2+b2=3c2联立，再利用基本不等式即可求得cosC最小值解答：解：在ABC中，由余弦定理得：a2+b2=c2+2abcosC，又a2+b2=3c2，c2=（a2+b2）代入式有：a2+b2=（a2+b2）+2abcosC，cosC=（当且仅当a=b时取“=”）cosC最小值
15、为故答案为：点评：本题考查余弦定理与基本不等式的综合应用，属于中档题15（5分）（2012许昌县一模）甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率3930094专题：概率与统计分析：甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门的基本事件的总数为=36，两人所选课程中恰有一门相同的事件包含的基本事件的个数为=24，据此即可得出答案解答：解：设四门选修课分别为a，b，c，d甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门分别有以下6种情况：ab，ac，ad，bc，bd，cd所以共有=36个基本事件则两人所选课程中恰有一门相同的情况包括以下情
16、况：（ab，ac），（ac，ab），（ab，ad），（ad，ab），（ac，ad），（ad，ac），；（ba，bc），（bc，ba），（ba，bd），（bd，ba），（bc，bd），（bd，bc）；（ca，cb），（cb，ca），（ca，cd），（cd，ca），（cb，cd）；（da，db），（db，da），（da，dc），（dc，da），（db，dc），（dc，db）等共有基本事件的个数为=24设两人所选课程中恰有一门相同的事件为P，则P=故答案为点评：正确列举总的基本事件个数及该事件所包含的基本事件的个数是解题的关键16（5分）（2012许昌县一模）若关于x的方程有三个不等实数根，则实数k
17、的取值范围是（0，）考点：根的存在性及根的个数判断3930094专题：计算题分析：先对方程进行整理转化为二次方程，然后根据x的正负情况进行去绝对值讨论，再由二次函数的性质可得到最后答案解答：解：由题意可知k0，=kxkx22kx=|x|当x0时：kx22kx=xkx2（2k+1）x=0x1=0，x2=0k或k0当x0时：kx22kx=xkx2（2k1）x=0x=00k综上方程的根一正，一负，一个为0，k的范围是（0，）故答案为：（0，）点评：本题主要考查二次函数根的存在和个数的判断考查对二次函数的性质的认识和理解三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2012许昌县一
18、模）根据如图的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，x2013；y1，y2，y2013（）写出数列xn，yn的通项公式（不要求写出求解过程）（）求数列xnyn的前n项和Sn（n2013）考点：数列的求和；程序框图3930094专题：计算题分析：（）通过程序框图可得到xn=2n1，yn=3n1，（n2013）；（）依题意，利用分组求和的方法即可求得数列xnyn的前n项和Sn（n2013）解答：解：（）xn=2n1，yn=3n1，（n2013）（）xnyn=2n3n，Sn=（2+4+6+2n）（3+32+33+3n）=n（n+1）（n2013）点评：本题考查程序框图与数列的求和，识图是
19、关键，考查分析与运算、识图的能力，属于中档题18（12分）（2012许昌县一模）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD=CBA=90，面 PAB面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1，点M是棱PD的中点（）求证：CM平面PAB；（）求四棱锥PABCD的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积3930094专题：空间位置关系与距离分析：（I）M为PD的中点，要证CM平面PAB，取PA的中点N，只需证明直线CM平行平面PAB内的直线BN即可；（II）取AB中点E，连接PE，利用等腰三角形三线合一，可得PEAB，再由PAB面ABCD结合面面垂直的性质，可得PE面
20、ABCD，即PE为四棱锥PABCD的高，代入棱锥体积公式可得答案解答：证明：（I）取PA的中点N，连接BN、NM，在PAD中，MNAD，且MN=AD；又BCAD，且BC=AD=1，所以MNBC，MN=BC即四边形BCMN为平行四边形，CMBN又CM平面PAB，BN平面PAB，故CM平面PAB解：（II）取AB中点E，连接PEPA=PB，E为AB中点PEAB又面 PAB面ABCD，面 PAB面ABCD=AB，PE面 PABPE面ABCD，四棱锥PABCD的体积V=SABCDPE=即四棱锥PABCD的体积为点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握线面平行的判定定理是解
21、答（I）的关键，而求出棱锥高为PE是解答（II）的关键19（12分）（2012许昌县一模）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：出场顺序1号2号3豪4号5号获胜概率pq若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为（）求p，q的值（）甲队以什么样的比分获得决赛胜利的可能性最大？考点：相互独立事件的概率乘法公式3930094专题：概率与统计分析：（）由题意可得：，解之即可；（）设A=甲队以3：0取胜，B=甲队以3：1取胜，C=甲队
22、以3：2取胜，分别求解即可比较大小，即可得答案解答：解：（）由题意可得：，解得p=q=；（）设A=甲队以3：0取胜，B=甲队以3：1取胜，C=甲队以3：2取胜，则P（A）=（）3=，P（B）=3=，P（C）=6=P（B）P（C）P（A），甲队以3：1获得胜利的可能性最大点评：本题考查相互独立事件的概率公式，理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键，属中档题20（12分）（2012许昌县一模）在平面直角坐标系xOy中，点P（0，1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：=2，=0（）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；（）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切
23、线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线l的方程考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题3930094专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用=2，可得坐标之间的关系，利用=0，即可求得C的方程；（）设出直线l的方程与y=2x2联立，利用韦达定理，结合，可得结论解答：解：（）设A坐标是（a，0），M坐标是（x，y），B（0，b），则=（xa，y），=（a，b），=（a，1）=2，有（xa，y）=2（a，b），即有xa=2a，y=2b，即x=a，y=2b=0，有a（xa）+y=0x（x+x）+y=0，2x2+y=0即C的方程是y=2x2；（）
24、设Q（m，2m2），直线l的斜率为k，则y=4x，k=直线l的方程为y2m2=（xm）与y=2x2联立，消去y可得2x2+x2m2=0，该方程必有两根m与xR，且mxR=m2（2m2）yR=4（m2）2，mxR+（2m2）yR=0，m2+4（m2）2=0，m=直线l的方程为点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用向量知识是关键21（12分）（2012许昌县一模）已知函数f（x）=ex+（a2）x在定义域内不是单调函数（）求函数f（x）的极值（）对于任意的a（2e，2）及x0，求证ex1+（1）x2考点：指数函数综合题3930094专题：函数的性质及应用分
25、析：（I）根据函数f（x）=ex+（a2）x的解析式，求出其导函数的解析式，根据原函数在定义域内不是单调函数，可得导函数在定义域内符号有正有负，进而求出a20，分析函数的单调性，即可判断出函数f（x）的极值（）构造函数h（x）=ex1+（1）x，则h（x）=f（x）=ex+（a2）x，根据（I）中结论，可判断出a（2e，2）时，h（x）=f（x）0恒成立，即h（x）在R上单调递增，故x0时，h（x）h（0）=0，进而得到结论解答：解：（I）f（x）=ex+（a2），且f（x）=ex+（a2）x在定义域内不是单调函数a20令f（x）=ex+（a2）=0，则x=ln（2a）当x（，ln（2a）时，
26、f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（ln（2a），+）时，f（x）0，函数f（x）单调递增；当x=ln（2a）时，函数f（x）取极小值f（ln（2a）=（2a）+（a2）ln（2a），函数没有极大值；证明：（II）设h（x）=ex1+（1）x，则h（x）=f（x）=ex+（a2）x由（I）知，f（x）min=（2a）+（a2）ln（2a），当a（2e.2）f（x）min0故h（x）=f（x）=ex+（a2）x0恒成立从而有h（x）=ex1+（1）x在R上单调递增当x0时，h（x）=ex1+（1）xh（0）=0故ex1+（1）x2点评：本题是指数函数与导数的综合应用，考查了利用导数求极值，及
27、确定函数单调性的方法和步骤，熟练掌握导数法在求极值和单调性时的方法和步骤是解答的关键22（10分）（2012许昌县一模）如图所示四边形ABCD内接于E、O，AC交BD于点E，圆的切线DF交BC的延长线于F，CD平分BDF（）求证：ABAD=ACAE（）若圆的半径为2，弦BD长为2，求切线DF的长考点：与圆有关的比例线段3930094专题：综合题；直线与圆分析：（）证明CDABEA，可得，从而可得结论；（）连接OD，OB，利用OD=OB=2，BD=2，可得BCD=120，从而可得BFD=90，即可求切线DF的长解答：（）证明：由弦切角定理可知CDF=CADCDB=CAB，FDC=BDCCAD=E
28、ABACD=ABDCDABEAABAD=ACAE；（）解：连接OD，OB在BOD中，OD=OB=2，BD=2，BCD=120CBD=BDC=CDF=30BFD=90在直角BFD中，DF=切线DF的长为点评：本题考查三角形相似的判定，考查弦切角定理，考查学生的计算能力，属于中档题23（2012许昌县一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知点P的极坐标为（，），直线l过点P，且倾斜角为，方程=1所对应的曲线经过伸缩变换后的图形为曲线C（）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程（）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|PB|的值考点：椭圆的参数方程；参数方程化成普
29、通方程3930094专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）确定P的直角坐标，利用直线l过点P，且倾斜角为，可得直线l的参数方程；确定坐标之间的关系，代入方程，化简可得结论；（）直线l的参数方程，代入曲线方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|PB|的值解答：解：（）P的直角坐标为（1，1）直线l过点P，且倾斜角为，直线l的参数方程为（t为参数）伸缩变换，代入=1，可得，即x2+y2=4曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=4；（）直线l的参数方程为，代入曲线C可得t2+（）t2=0设方程的根为t1，t2，则t1+t2=；t1t2=2|PA|PB|=|t1|t2|=2点评：本题考查直线
30、的参数方程，考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查参数的几何意义，属于中档题24（2012许昌县一模）已知实数a0且函数f（x）=|x2a|x+a|的值域为P=y|3a2y3a2（）求实数a的值；（）若至少存在一个实数m，使得f（m）f（1m）n成立，求实数n的取值范围考点：带绝对值的函数3930094专题：计算题分析：（1）根据绝对值的性质，|a|b|a+b|a|+|b|可得|x2a|x+a|3a，进而根据函数的值域为P，求出a值；（2）由（1）构造函数h（m）=f（m）f（1m），并结合绝对值的性质，求出函数的最大值，进而得到实数n的取值范围解答：解：（I）实数a0|x2a|x+a|x2a+（xa）|=|3a|=3a3a|x2a|x+a|3a由函数f（x）=|x2a|x+a|的值域为P=y|3a2y3a23a2=3a解得a=1（II）f（x）=|x2|x+1|h（m）=f（m）f（1m）=（|m2|m+1|）（|1m2|1m+1|）=|m2|m+1|m1|+|m+2|=2（|m2|m+1|）=故h（m）的最小值为6若至少存在一个实数m，使得f（m）f（1m）n成立，仅须n6点评：本题考查的知识点是带绝对值的函数，其中熟练掌握绝对的性质|a|b|a+b|a|+|b|是解答的关键