1、模块综合评估(一)一、选择题(每小题5分，共60分)1在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段(A)A平行且相等 B平行不相等C相等不平行 D既不平行也不相等2下列命题正确的是(D)A若直线l1平面，直线l2平面，则l1l2 B若直线l上有两个点到平面的距离相等，则lC直线l与平面所成角的取值范围是00，解得m.二、填空题(每小题5分，共20分)13如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于.解析：由三视图知该几何体是半径为2的半球，所以其体积为23.14直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A、
2、B两点且|AB|2，则实数a0.解析：因为圆的圆心坐标为(1,2)，半径r2，且|AB|2，故圆心到直线的距离d 1，即1，所以|a1|，平方得a22a1a21，解得a0.15一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为(2)4.解析：设圆柱形水桶的底面半径为R，高为h，桶直立时，水的高度为x.横放时水桶底面在水内的面积为R2R2，水的体积为V水(R2R2)h.直立时水的体积不变，则有V水R2x，xh(2)4.16如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD1；D
3、PBC1；平面PDB1平面ACD1，其中正确的结论的序号是(写出所有你认为正确结论的序号)解析：因为AA1CC1，AA1CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以ACA1C1.又AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1.所以AC平面A1BC1，同理可证AD1平面A1BC1.又AC平面ACD1，AD1平面ACD1，且ACAD1A，所以平面ACD1平面A1BC1.因为A1P平面A1BC1，所以A1P平面ACD1，故正确；BC1平面A1BC1，所以BC1平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变又VAD1PCVPACD1，所以三棱锥AD1PC的体积不变，故正确；因为DBDC1，所以当P为
4、BC1的中点时才有DPBC1，故错误；因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1，又ACBD，BB1BDB，所以AC平面BB1D1D，又B1D平面BB1D1D，所以B1DAC，同理可证B1DAD1.又AC平面ACD1，AD1平面ACD1，ACAD1A，所以B1D平面ACD1，又B1D平面PDB1，所以平面PDB1平面ACD1，故正确三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)已知一个组合体的三视图，如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：V
5、圆锥r2h1222，V圆柱r2h2221040，V圆柱r2h342116，所以此组合体的体积为V4016.18(12分)已知等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3xy0，一条直角边所在直线l的斜率为，且经过点(4，2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标解：设直角顶点为C，C到直线y3x的距离为d，则d2d10，d.又l的斜率为，l的方程为y2(x4)，即x2y80.设l是与直线y3x平行且距离为的直线，则l与l的交点就是点C.设l的方程是3xym0，则，m10，l的方程是3xy100.由或得点C的坐标是或.19(12分)已知圆C经过A(2,4)、B(3,5)两点，且圆心C在
6、直线2xy20上(1)求圆C的方程；(2)若直线ykx3与圆C总有公共点，求实数k的取值范围解：(1)由于AB的中点坐标为(，)，kAB1，则线段AB的垂直平分线的方程为yx7，圆心C是直线yx7与直线2xy20的交点，由解得即圆心C(3,4)，又半径为|CA|1，故圆C的方程为(x3)2(y4)21.(2)圆心C(3,4)到直线ykx3的距离d，由题意d1，化简得4k23k0，解得0k.20.(12分)如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A、B的一点，AA1AB2.(1)求证：平面A1AC平面BA1C；(2)求VA1ABC的最大值解：(1)证明：C是底面圆周上异于A、B的一点
7、，且AB为底面圆的直径，BCAC.又AA1底面ABC，BCAA1，BC平面A1AC.由面面垂直的判定定理知，平面A1AC平面BA1C.(2)在RtACB中，设ACx，则BC(0x2)故VA1ABCSABCAA1ACBCAA1x(0x2)VA1ABCx.0x2，0x24.当x22，即x时，VA1ABC的值最大，即(VA1ABC)max.21(12分)已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半，求：(1)动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹解：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合PM|MA|MB|由两点间距离公式，点M适合的条
8、件可表示为.平方后再整理，得x2y216.可以验证，这就是动点M的轨迹方程(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)由于A(2,0)，且N为线段AM的中点，所以x，y.所以有x12x2，y12y.由(1)知，M是圆x2y216上的点，所以M的坐标(x1，y1)满足xy16.将代入整理，得(x1)2y24.所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆22(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)求证：PB平面ACM；(2)求证：AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABC
9、D所成角的正切值解：(1)证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点又M为PD的中点，所以PBMO.因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.(2)证明：因为ADC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC.又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC.(3)如图，取DO的中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MNPO，且MNPO1.由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN即是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，AD1，AO，所以DO，从而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.