1、第1讲 空间几何体专题五 立体几何栏目索引 高考真题体验 1 热点分类突破 2 高考押题精练 3 高考真题体验 12341.(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.7解析 设新的底面半径为 r，由题意得13r24r2813524228，解得 r 7.解析答案 12342.(2016课标全国丙改编)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是_.解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径
2、为 4.92三棱柱的高为 3，所以球的最大直径为 3，V 的最大值为92.解析答案 1234解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，3.(2015山东改编)在梯形 ABCD 中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_.53该几何体的体积为 VV 圆柱V 圆锥AB2BC13CE2DE1221312153.解析答案 12344.(2014江苏)设甲、乙两个圆
3、柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2.若它们的侧面积相等，且S1S294，则V1V2的值是_.32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1，r2 和 h1，h2，由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，由S1S294，得r21r2294，则r1r232.即 r1h1r2h2，所以V1V2r21h1r22h2r1r232.解析答案 考情考向分析 返回 1.考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一 空间几何体的结构特征热点分类突破 棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点
4、的三角形；棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.例1 设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的各侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是_.解析 命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命
5、题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的.解析答案 思维升华 跟踪演练1(1)给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱.其中正确命题的个数是_.解析 直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误.0解析答案(2)以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为_.解析 命题错，因
6、为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥.命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰.命题对.命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.1解析答案 热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.例2(1)已知一个圆锥的底面积为2，侧面积为4，则该圆锥的体积为_.2 63 解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则 r22，rl4，解得 r 2，l2 2，故高 h 6，所以 V1
7、3r2h132 62 63.解析答案(2)设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1，S1，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2，S2，若V1V23，则S1S2的值为_.3 2解析 因为 V1a3，S16a2，V213rr2r33，S2rl 2r2，所以V1V2 a3r333ar1，因此S1S2 6a22r23 2.解析答案 思维升华 跟踪演练 2 已知圆锥的母线长为 5，高为 21，则此圆锥的底面积和侧面积之比为_.25解析 由题意得圆锥的底面半径为25212，因此圆锥的底面积和侧面积之比为r2rlrl25.解析答案 热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切
8、，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.如球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图.16 例 3(1)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面ABC，SA2 3，AB1，AC2，BAC60，则球 O 的表面积为_.解析 在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos 603，AC2AB2BC2
9、，即ABBC，又SA平面ABC，三棱锥 SABC 可补成分别以 AB1，BC 3，球 O 的直径12 322 324，故球O的表面积为42216.解析答案 SA2 3为长、宽、高的长方体，(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为_ cm3.5003答案 解析 思维升华 跟踪演练 3 在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ABD 的面积分别为 22，32，62，则三棱锥 ABCD 的外接球体积为_.6答案 解析 返回 V 总6V
10、ABEF12，则四棱锥 BECDF 的体积为 10.123押题依据 高考押题精练 1.如图，三棱锥ABCD中，E是AC的中点，F在AD上，且2AFFD，若三棱锥ABEF的体积是2，则四棱锥BECDF的体积为_.解析 因为SAEFSACD12AEAFsin A12ACADsin A16，押题依据 简单几何体的表面积和体积的计算是高考考查的重点，本题从两几何体的体积关系进行考查，符合高考命题思想.10 解析答案 123押题依据 押题依据 多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点.2.在正三棱锥 SABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AMSB，底面边长 AB2 2，则正三棱锥 SABC 的外接球的表面积为_.12答案 解析 押题依据 3.已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_.4 23押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积.本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注.返回 123答案 解析