1、2020年高三年级第三次诊断性测试文科数学（问卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式简化集合的表示，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.【详解】，又，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.2.若复数满足（为虚数单位），则=（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为，所以因此考点：复数的模3.方程的实根所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解
2、析】【分析】构造函数，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案【详解】构造函数，则该函数在上单调递增，由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选B.【点睛】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平方的方法化简已知条件，由此求得的值.【详解】由，得，两边平方并化简得.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.5.已知，为三条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是(
3、)A. ，且，则B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理判断是否正确；根据三点是否在平面的同侧来判断选项是否正确；根据直线与平面位置关系，来判断是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，来判断是否正确.【详解】对于选项，若时，与不一定垂直，所以错误；对于选项，若三点不在平面的同侧，则与相交，所以错误；对于选项，有可能，所以错误；对于选项，根据平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，所以正确.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查线面平行垂直、面面平行的判定，属于基础题
4、.6.在校园篮球赛中，甲、乙两个队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，下列说法正确的是（ ）A. 乙队得分的中位数是38.5B. 甲、乙两队得分在分数段频率相等C. 乙队的平均得分比甲队的高D. 甲队得分的稳定性比乙队好【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图，对数据的中位数、频率、平均数和稳定性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，乙队得分的中位数是，故A选项错误.对于B选项，甲队得分在分数段频率为，乙队得分在分数段频率为，所以B选项错误.对于C选项，甲队平均分为，乙队平均分为，两队得分平均分相等，所以C选项错误.对于D选项，由于两队得分的平均分相等，而甲队的得分较为集中
5、，乙队的得分比较分散，所以甲队得分的稳定性比乙队好.故选：D【点睛】本小题主要考查根据茎叶图进行数据分析，属于基础题.7.把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再把得到图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象.则下列命题正确的是（ ）A. 函数在区间，上单调递减B. 函数在区间，上单调递增C. 函数的图象关于直线，对称D. 函数的图象关于点，对称【答案】B【解析】【分析】先根据函数图象变换的知识求得的解析式，再根据的单调性和对称性对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变）得到，再把得到图象上所有点向右平移个单位长
6、度，得到.由，解得，所以的单调递增区间是.由，解得，所以的单调递增区间是.所以A选项错误，B选项正确.由，解得，即是的对称轴，所以CD选项错误.故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调性和对称性，属于中档题.8.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（ ）A. 5.5尺B. 4.5尺C. 3.5尺D. 2.5尺【答案】A【解析】【分析】先设等差数列，首项为，
7、公差为，根据题意有，然后由两式求解.【详解】设等差数列，首项为，公差为，根据题意得，解得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊范围的函数值，判断出正确选项.【详解】由于，所以的定义域为，且.所以为偶函数，所以B,C选项错误.当时，故，所以，所以，所以.所以D选项错误.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.10.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.如
8、图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该二十四等边体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过二十四等边体的外接球表面积求得半径，进而计算出二十四等边体的边长，进而计算出二十四等边体的表面积.【详解】由于二十四等边体的外接球表面积为，设其半径为，则，解得.设为球心，依题意可知四边形分别为正方体侧棱的中点，所以正方形，由于，所以四边形是正方形，.所以
9、二十四等边体的边长为.所以二十四等边体的边长的表面积为.故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.11.过双曲线：右焦点的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】设是的中点，结合双曲线的定义和余弦定理，求得的关系式，由此求得双曲线的离心率.【详解】设是的中点，设左焦点为，画出图像如下图所示.由于，所以.由于，所以.由于是线段的中点，所以，所以，所以.设，则，根据双曲线的定义可知，所以.所以，设，在三角形和三角形中，由余弦定理得，化简得，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于综合题.
10、12.若函数满足，且，则函数（ ）A. 在上为增函数B. 在上为减函数C. 在上有最大值D. 在上有最小值【答案】A【解析】【分析】将已知条件转化为，根据积分求得，由求得的值，由此利用判断出的单调区间.【详解】由得，依题意可知，所以两边除以得，即，所以.由得，即.所以，所以在上为增函数，没有最值.故选：A【点睛】本小题主要考查复合函数求导，考查根据导函数求原函数，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量，且，则实数_.【答案】【解析】【分析】分别求得，再利用，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，因，可得，解得.【点睛】本题主要
11、考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查计算能力.14.已知等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则的面积是_.【答案】36【解析】【分析】由抛物线的关于轴对称，可得等腰直角三角形的另外两个点关于轴对称，求得直线和抛物线点交点，即可得到所求的面积.【详解】由等腰直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，因为抛物线的关于轴对称，可得等腰直角三角形的另外两个点关于轴对称，可设直线，代入抛物线，即，解得或，可得等腰直角三角形的另外两个点为，所以等腰直角三角形的面积为.故答案为：.【点睛
12、】本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的对称性，转化为直线与抛物线的交点问题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.甲、乙、丙、丁四个人背后有4个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号，他们每人都只说对了一半，则丙背后的号码是_.【答案】3【解析】【分析】依据现在知道四个人只对了一半，可用假设法推进推理，若得出矛盾则否定之，若得不出矛盾，则推理正确，即可求解.【详解】假设赵同学说的前半句“甲是2号”是对的，那么后半句“乙是3号”就是错误的，那么李同学说：“
13、丁是1号”也是对的，那么孙同学说的“丙是3号”也是对的，钱同学说的“丙是2号，乙是4号”中“乙是4号”就是对的，所以甲是2号，乙是4号，丙是3号，丁是1号.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中牢牢抓住条件“四人都只说对一半”，运用假设法进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.16.已知数列前项和为，则_.【答案】【解析】【分析】由，推得，得到数列奇数项构成首项为，公比为的等比数列，偶数项构成首项为，公比为的等比数列，分类讨论，利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，数列满足，则当时，可得，所以，又由，可得，所以，所以数列奇数项构成首项为，公比为的等比
14、数列，偶数项构成首项为，公比为的等比数列，当为奇数时，则；当为偶数时，则，综上可得，. 故答案为：.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，等比数列的定义，以及等比数列前项和公式的应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.17.如图，在正方体中，是的中点.（1）证明平面；（2）若正方体的棱长为1，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，为中点，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）根据体积相等法，即，即可求得
15、到平面的距离.【详解】（1）连接，交于点，连接，为中点，为的中位线，可得，又因为平面，平面，所以直线平面；（2）由棱长为1，所以，又，故点到的距离为，所以，设点到平面的距离为，则，即，解得.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，着重考查了推理与运算能力.18.在中，内角，所对的边为，若的面积，且.（1）求角的大小；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，求得，得到，再利用题设条件和余弦定理，求得，即可求解；（2）由（1
16、）知，得到，利用余弦定理和基本不等式，求得，即可求得面积的最大值.【详解】（1）由题意知，的面积，可得，解得，根据正弦定理，可得，即，又由，即，可得，所以，因为，所以.（2）由（1）知，所以，又由余弦定理，得即，当且仅当时，等号成立，即，所以，即面积的最大值为，此时是正三角形.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.19.“网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了100名男性和100名女性在“双十一”活动中用于
17、网购的消费金额，数据整理如下：男性消费金额频数分布表消费金额（单位：元）05005001000100015001500200020003000人数1515203020（1）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额；（2）如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过200元的消费称作理性消费，试问是否有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.附：0.500.400.250.150.100.050.4550.7081.3232.0722.7063.841【答案】（1）1425元，1100元；（2）有5成以上的把握认为理性消费与性别有关【解析】分析】（1）根据表格中男性平均消费金额和频率分布直方
18、图中女性平均消费金额，利用平均数的计算公式，即可求解；（2）由（1），求得女性的理性消费区间为人数，男性理性消费区间为人数，得出的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论.【详解】（1）由表格知男性平均消费金额为（元）由频率分布直方图知女性平均消费金额为：（元）（2）由男性消费金额频数分布表，可得男性的消费的中位数为1500元，其中男性理性消费区间为，可得人数为人，由频率分布直方图可得，女性消费的中位数为1000元，其中女性的理性消费区间为，可得人数为人， 所以列联表为：女性男性合计理性消费162036非理性消费8480164合计100100200，由，有5成以上把握认为理性消费与性别有关
19、.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的平均数的计算，以及独立性检验的应用，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的平均数的计算公式，以及独立性检验的公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20.已知函数.（1）求函数的最值；（2）证明：.【答案】（1）最大值，无最小值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数的导数，求得函数的单调性，进而得出函数的最值；（2）令，求得，得到函数的单调性，求得函数的最小值，即可得到结论.【详解】（1）由题意，函数，则，当时，当，在上单调递增，在上单调递减.时有最大值，无最小值.（2）令，则，令，即，解得，当时，当时，所以在为减函数，在为增函
20、数，当时，取得最小值，又由（1）知有最大值，所以.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式关系式的证明，其中解答中熟练利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.21.已知椭圆：的短轴长为2,离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且不过点直线与椭圆交于,两点,直线与直线交于点.（i）若轴,求直线的斜率；（ii）判断直线与直线的位置关系,并说明理由.【答案】（1）；（2）（i）,（ii）,理由见解析【解析】【分析】(1)根据基本量的关系列式求解即可.(2) （i）当轴时,可求得的坐标,进而求得直线的方程与的坐标,进而求得直线的斜率.（ii）联立直
21、线与椭圆的方程, 设,根据题意求出直线的方程与的坐标,进而得出直线的斜率表达式,代入韦达定理的关系化简即可.【详解】（1）由,故,得,椭圆方程为：；（2）可设：,轴,则：,当在轴上方时有,的方程为：,.当在轴下方时有,的方程为：,.综上有.,证明如下：把代入得,设,则,：,由,.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理证明斜率的定值问题,需要根据题意设交点,再根据斜率的以及直线的方程求出所需的点坐标,最后再代入韦达定理化简求解.属于难题.选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上托所选题
22、目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线：（为参数）被圆截得的弦长为2，求直线的倾斜角.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程消去参数得到，然后将，代入上式得整理求解.（2）根据直线的参数方程消去参数得到或，再根据弦长为2，得到圆心到的距离，然后由点到直线的距离求解.【详解】（1）因为圆的参数方程为，消去参数得：，即，又因为，代入上式得：，整理得：，所以圆的极坐标方程为.（2）因为直线：，消去参数得：或，因为圆的圆心，又弦长为2，所以圆心到的距
23、离，当时，解得，因为，所以，当时，成立，综上：的倾斜角或.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23.已知函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，求的值.【答案】（1）或；（2）4【解析】【分析】（1）根据题意，可得，对不等式：当时，当时，当时，分类讨论即可；（2）根据题意写出函数的分段函数，再根据解集为即可得到的值.【详解】（1）当时，则，由，即为： 当时，式即为：，符合，当时，式即为：，不符合，当时，式即为：，符合，综上，不等式的解集为或；（2）由，由的解集为，知的解集即为，即.【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，考查了分段函数，体现了等价转化的数学思想，属于基础题
