1、第十章 排列、组合和二项式定理网络体系总览考点目标定位 1.分类计数原理与分步计数原理. 2.排列、排列数公式. 3.组合、组合数公式、组合数的两个性质. 4.二项式定理、二项展开式的性质.复习方略指南 排列与组合是高中数学中，从内容到方法都比较独特的一部分.其重点是在熟练应用公式的基础上,运用两个基本原理,解决计数应用题. 二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用. 近几年全国各地高考试题考查本章知识的题型多为选择题或填空题,分值为49分,各套试卷都有考查本章知识的题目,难度为中档或中档以下的题目,试题考查二项式定理及其通项公式的较多,对排列、组合的考查放在了概率一节知识中. 依据
2、以上情况,复习中,要注意通过典型例题,掌握分析问题的方法,总结解题规律.10.1 分类计数原理、分步计数原理巩固夯实基础 一、自主梳理 1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种方法. 2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1m2mn种方法. 二、点击双基1.四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工
3、产品放在同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的.现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( )A.96 B.48 C.24 D.0解析:相交两棱所代表的物品不同在一个仓库,如右图,现设侧棱为1、2、3、4,底面上的边为5、6、7、8,由图分析可知,不可能有3种物质放在同一个仓库,故每个仓库放2种,由图知下图中对应为安全的. 不妨设先将编号为1、2、3、4的物品入仓,则有A44种放法,然后从有1的开始. A:若有1的仓库放5,则有2的放6且8只能在含4的仓库中,那么7只能放在含3的仓库中. B:若有1的仓库放8,同理可知也只有一
4、种放法,故放法有2种. 为2A44=224=48(种).答案:B2.(2005北京东城教学目标检测)如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数一共有( )A.240个 B.285个 C.231个 D.243个解析:分情况类推,当十位数字是9时,百位数字有8种取法,个位数字有9种取法,此时取法种数为89;当十位数字是8时,百位数字有7种取法,个位数字有8种取法,此时取法种数为78.依此类推,直到当十位数字是2时,百位数字有1种取法,个位数字有2种取法,此时取法种数为12.所以,总的个数为12+23+34+89=240.故选A.答案:A3.(2005北京宣武质量检测)某体
5、育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2.元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全,至少要( )A.3 360元 B.6 720元 C.4 320元 D.8 640元解析:考查分步计算原理,从01至10的三连号的个数有8种;从11至20的两连号的个数有9种;从21至30的单选号的个数有10种;从31至36的单选号的个数有6种,故总的选法有89106=4 320种,可得需钱数为8 640元,答案为D.答案:D4.72的正约数(包括1和72)共有_个.解析:72=
6、2332. 2m3n(0m3,0n2,m、nN)都是72的正约数. m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共34个.答案:125.(2005北京春季高考)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,共可组成不同的二次函数_个,其中不同的偶函数共有_个.(用数字作答)解析:一个二次函数对应着a、b、c(a0)的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步计数原理,知共有二次函数332=18个.若二次函数为偶函数,则b=0.同上共有32=6个.答案:18 6诱思实例点拨【例1】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后
7、两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果？解:分两类：(1)幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有302920=17 400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有201930=11 400种结果.因此共有17 400+11 400=28 800种不同结果.讲评:在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步.链接提示 本题为什么要先分类？由于幸运之星在哪个信箱产生对幸运伙伴的产生有影响，分步计数原理中步与步间要独立.【例2】有一个
8、圆被两相交弦分成四块,现在用5种不同颜料给4块涂色,要求共边两块颜色互异,每块只涂一色,共有多少种涂色方法?剖析:如图所示,分别用a、b、c、d记这四块.a与c可同色,也可不同色,先可考虑给a、c两块涂色,分两类.解:(1)给a、c涂同种颜色共C15种涂法,再给b涂色有4种涂法,最后给d涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有C1544种涂法. (2)给a、c涂不同颜色共有A25种涂法,再给b涂色有3种方法,最后给d涂色也有3种,此时共有A2533种方法. 故由分类计数原理知,共有C1544+A2533=260种涂法.讲评:按元素性质分类,按事件发生过程分步是处理排列、组合问题的基本思想方法.
9、在应用分类计数原理时,要注意“类”与“类”间的独立性与并列性;在应用分步计数原理时,要注意“步”与“步”的连续性.链接聚焦 两个基本原理与排列组合是历年高考必考内容,题型多以小题为主,主要考查对概念的理解和知识的综合应用.【例3】 现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选两人作中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?剖析:这是个分类和分步计数原理的综合问题,(1)是分类计数原理,(2)是分步计数原理,(3)是分类与分步的综合
10、.解:(1)分四类,第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法,所以共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步,第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长,所以共有不同的选法N=78910=5 040(种). (3)分六类,每类又分两步,从一班、二班学生中各选1人,有78种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有79种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有710种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有89种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有810种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有910种不同的选法,所以共有不同的选法N=78+79+710+89+810+910=431(种).讲评:综合问题,要清楚是先分类,每类之中有分步还是先分步,每步之中有分类.