1、11利用函数性质判定方程解的存在学习目标1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图像判断零点个数知识点一函数的零点概念思考函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)0的实数x.实际上是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标梳理概念：函数yf(x)的零点是函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标方程、函数、图像之间的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点知识点二零点存在性定理思考函数零点有时是不易求或求不出来的如f(x)lgxx.但函
2、数值易求，如我们可以求出f()lg1，f(1)lg111.那么能判断f(x)lgxx在区间内有零点吗？答案能因为f(x)lgxx在区间内是连续的，函数值从变化到1，势必在内某点处的函数值为0.梳理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解这个结论可称为函数零点的存在性定理类型一求函数的零点例1函数f(x)(lgx)2lgx的零点为_答案x1或x10解析由(lgx)2lgx0，得lgx(lgx1)0，lgx0或lgx1，x1或x
3、10.反思与感悟函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标跟踪训练1函数f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零点个数是_答案4解析f(x)(x1)(x1)(x2)2(x3)(x1)(x1)2(x1)(x2)2(x3)可知零点为1，2,3，共4个类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e2.72)的一个根所在的区间是()x10123ex0.3712.727.4020.12x212345A.(1,0) B(0,1
4、) C(1,2) D(2,3)答案C解析令f(x)ex(x2)，则f(1)0.3710，f(0)120，f(1)2.7230.由于f(1)f(2)0，方程ex(x2)0的一个根在(1,2)内反思与感悟在函数图像连续的前提下，f(a)f(b)0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)f(b)0，却不能判断在区间(a，b)内无零点跟踪训练2若函数f(x)3x7lnx的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.答案2解析函数f(x)3x7lnx在定义域上是增函数，函数f(x)3x7lnx在区间(n，n1)上只有一个零点f(1)37ln140，f(2)67ln20，函数f(x)
5、3x7lnx的零点位于区间(2,3)内，n2.类型三函数零点个数问题例3求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数解方法一f(0)10210，f(x)在(0,1)上必定存在零点又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数故函数f(x)有且只有一个零点方法二在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图像知g(x)lg(x1)的图像和h(x)22x的图像有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数(2)利用函数图像交点的个数判定函数
6、零点的个数跟踪训练3求函数f(x)lnx2x6零点的个数解方法一由于f(2)0，即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点又因为函数f(x)在定义域(0，)内是增函数，所以它仅有一个零点方法二通过作出函数ylnx，y2x6的图像，观察两图像的交点个数得出结论也就是将函数f(x)lnx2x6的零点个数转化为函数ylnx与y2x6的图像交点的个数由图像可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点例4f(x)2x(xa)1在(0，)内有零点，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)答案D解析由题意可得ax()x(x0)令g(x)x()x，该函数在(0，)上为增
7、函数，可知g(x)的值域为(1，)，故a1时，f(x)在(0，)内有零点反思与感悟为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单跟踪训练4若函数f(x)x22mx2m1在区间(1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是()A(，11，)B(，1)(1，)C，D(，)答案D解析函数f(x)x22mx2m1的零点分别在区间(1,0)和(1,2)内，即函数f(x)x22mx2m1的图像与x轴的交点一个在(1,0)内，一个在(1,2)内，根据图像列出不等式组解
8、得m，实数m的取值范围是(，)1函数yx的零点是()A(0,0) Bx0Cx1D不存在答案B2函数f(x)x22x的零点个数是()A0B1C2D3答案C3若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)0，f(2)0，则下列说法正确的是()Af(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点Bf(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点Cf(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点Df(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案C4下列各图像表示的函数中没有零点的是()答案D5函数f(x)x3()x的零点
9、有()A0个B1个C2个D无数个答案B1方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图像与x轴交点的横坐标2在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点3解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图像4函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础课时作业一、选择题1下列图像表示的函数中没有零点的是()答案A解析B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，
10、故函数没有零点2已知函数f(x)在区间a，b上单调，且图像是连续不断的，若f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b上()A至少有一实数根B至多有一实数根C没有实数根D必有唯一的实数根答案D解析由题意知函数f(x)为连续函数f(a)f(b)0，函数f(x)在区间a，b上至少有一个零点又函数f(x)在区间a，b上是单调函数，函数f(x)在区间a，b上至多有一个零点故函数f(x)在区间a，b上有且只有一个零点，即方程f(x)0在区间a，b内必有唯一的实数根故选D.3已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,4) D(4，)答案C
11、解析由题意知，函数f(x)在(0，)上为减函数f(1)6060，f(2)3120，f(4)log2420.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点4对于函数f(x)x2mxn，若f(a)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A一定有零点B一定没有零点C可能有两个零点D至少有一个零点答案C解析若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A、D错，若如图(3)所示，可知B错5已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0
12、答案B解析方法一由f(x)0得2x0，2x.在同一直角坐标系中，作出函数y12x，y2的图像(图略)，观察图像可知，当x1(1，x0)时，y1y2，f(x1)0.方法二函数y2x，y在(1，)上均为增函数，函数f(x)在(1，)上为增函数，由x1(1，x0)，f(x0)0得f(x1)f(x0)0.6若函数f(x)在定义域x|xR且x0上是偶函数，且在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A一个B两个C至少两个D无法判断答案B解析f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，所以f(x)在(0，)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(，0)上有且仅有一个零点2
13、.因此函数f(x)有两个零点2与2.二、填空题7若函数f(x)mx1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是_答案(1，)解析f(0)1，要使函数f(x)mx1在(0,1)内有零点，需f(1)m10，即m1.8若函数f(x)3x25xa的一个零点在区间(2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是_答案(12,0)解析根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图由图可知即解得12a0.9函数f(x)的零点是_答案2,1解析当x0时，令2x40，得x2，满足要求；当x0时，令lgx0，得x1，满足要求所以函数f(x)的零点是2,1.10已知函数f(x)|x2|1，g(x)
14、kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_答案(，1)解析画出函数f(x)的图像，如图所示若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图像有两个交点，由图可知k，且k1.三、解答题11已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围解(1)当x(，0)时，x(0，)，yf(x)是奇函数，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，f(x)(2)当x0，)时，f(x)x22x(x1)21，最小值为1；当x(，0)时，f(x)x22x1(x1)2，最大值为1.据此可作出函数yf(x)的图像，如图所示，根据图像得，若方程f(x)a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(1,1)