1、8.3 抛物线巩固夯实基础 一、自主梳理 1.抛物线的定义 平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴y=0对称轴x=0对称轴x=0焦点F(,0)F(-,0)F(0,)F(0,-)准线x=-x=y=-y=离心率e=1e=1e=1e=1M(x0,y0)焦半径|MF|=x0+|MF|=-x0+|MF|=y0+|MF|=-y0+ 二、点击双基1.在抛物
2、线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为（ ）A. B.1 C.2 D.4解析：抛物线的准线方程为x=-,由抛物线的定义知4+=5,解得p=2.答案：C2.设a0，aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为（ ）A.(a,0) B.(0,a) C.(0,) D.随a符号而定解析：化为标准方程.答案：C3.以抛物线y2=2px(p0)的焦半径PF为直径的圆与y轴的位置关系为（ ）A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定解析：利用抛物线的定义.答案：C4.以椭圆+=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为_.解析：中心为（0，0），左
3、准线为x=-,所求抛物线方程为y2=x.又椭圆右准线方程为x=，联立解得A（，）、B（，-）.|AB|=.答案：5.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_.（要求填写合适条件的序号）解析：由抛物线方程y2=10x可知满足条件.答案：诱思实例点拨【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上.剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅
4、需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0), 过点(-3,2), 4=-2p(-3)或9=2p2. p=或p=. 所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y,前者的准线方程是x=,后者的准线方程是y=-. (2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4, 抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). 当焦点为(4,0)时，=4, p=8,此时抛物线方程y2=16x; 焦点为(0,-2)时，=2, p=4,此时抛物线方程为x2=-8y. 所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y,对应的准线
5、方程分别是x=-4,y=2.讲评：本题考查抛物线的标准方程，易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.【例2】 如图所示,直线l1和l2相交于点M,l1l2,点Nl1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分,求曲线方程需建立适当的直角坐标系,设出抛物线方程,由条件求出待定系数即可,求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.解：以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由
6、条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点. 设曲线段C的方程为y2=2px(p0)(xaxxb,y0),其中xa、xb为A、B的横坐标,p=|MN|,所以M(-,0)、N(,0). 由|AM|=,|AN|=3,得 (xa+)2+2pxa=17, (xa-)2+2pxa=9. 联立,解得xa=,代入式,并由p0,解得或 因为AMN为锐角三角形,所以xA. 故舍去所以 由点B在曲线段C上,得xb=|BN|-=4. 综上,曲线段C的方程为y2=8x(1x4,y0).讲评：本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤,综合考查
7、了学生分析问题、解决问题的能力.【例3】 已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且=0,|=|.(1)求动点N的轨迹方程；(2)直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若=-4,且4|4，求直线l的斜率k的取值范围.解：(1)设N(x,y)，由条件易知P(0,),M(-x,0). 代入|=|，化简得y2=4x(x0), 即为点N的轨迹方程. (2)设l与y2=4x(x0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点. 当l与x轴垂直时，|AB|=420)上， 得(y1y2)2=16x1x2. 由得y1y2=-8. 又由ky2-4y+4b=0. 所以|2=(1+)(y2-y1)2 =(1+)(y1+y2)2-4y1y2 =(1+)(+32). 因为4|4, 所以96(1+)(+32)480. 解得|k|1. 故直线l的斜率k的取值范围是k-1,-,1.
