1、铅山一中2020-2021学年高二年级第二学期期中考试数学试题（理科）分值：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本题共12小题，每小题5分，共60分。1.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A.ac2abb2 C.2.观察下列等式，132332,13233362,13233343102.根据上述规律，132333435363等于()A.192 B.202C.212 D.2223.已知命题p：存在x0R，x4x060C.任意xR，x24x60 D.存在xR，x24x604.设u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面，
2、的法向量.若，则t等于()A.3 B.4 C.5 D.65.下列求导数的运算中错误的是()A.(3x)3xln 3 B.(x2ln x)2xln xxC.D.(sin xcosx)cos 2x6.已知条件p：x1或xx2，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A.2sin 40 B.2cos 40 C. D.8.若f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.9.如图，记椭圆1，1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下
3、列四个命题中不正确的是()A.P到F1(4，0)，F2(4，0)，E1(0，4)，E2(0，4)四点的距离之和必为定值B.曲线C关于直线yx，yx均对称C.曲线C所围区域的面积必小于36D.曲线C的总长度必大于610.若函数f(x)在区间0，e上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A. B1 C. D.11.已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左右焦点，过F1的直线l与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|2a，F1AF2，则()A.1 B. C. D.12.已知函数ya8ln x的图像上存在点P，函数yx22的图像上存在点Q，且P，Q关于x轴对称，则a的取值
4、范围是()A.68ln 2，e26 B.e26，)C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为_.14.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到如下数据：天数x/天34567繁殖个数y/万个2.5344.5c若已知回归直线方程为y0.85x0.25，则表中c的值为_.15.已知P为抛物线C：yx2上一动点，直线l：y2x4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，4)且，则的最小值为_.16.已知R，函数f(x)，若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤。17.用分析法证明：2（10分）18.已知命题p：x22x30；命题q：1，若“p且q”为真，求x的取值范围.（12分）19.若函数f(x)ln x2x2ax的图像上存在与直线2xy0平行的切线，求实数a的取值范围. （12分）20.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；（12分）21.已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐
6、标；(2)若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.（12分）22.设函数f(x)x2(a1)xalnx.（12分）(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)已知函数f(x)有极值m，求证：m1(已知ln 0.50.69，ln 0.60.51).铅山一中2021年高二第二学期数学期中考试答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本题共12小题，每小题5分，共60分。1.B2.C3.A4.C5.C6.A7.D8.D9.A10.B11.B12.D12.
7、解析函数yx22的图像与函数yx22的图像关于x轴对称，根据已知得函数ya8ln x的图像与函数yx22的图像有交点，即方程a8ln xx22在上有解，即ax228ln x在上有解，令g(x)x228ln x，x，则g(x)2x，当x时，g(x)0.故当x2时，g(x)取最小值g(2)68ln 2，由于g10，g(e)e26.故当x时，g(x)取到最大值10.所以68ln 2a10.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为_.答案2xy21014.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到如下数据：天数x/天345
8、67繁殖个数y/万个2.5344.5c若已知回归直线方程为y0.85x0.25，则表中c的值为_.答案615.已知P为抛物线C：yx2上一动点，直线l：y2x4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，4)且，则的最小值为_.答案16.已知R，函数f(x)，若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.解若f(x)恰有2个零点有两种情况：二次函数有两个零点，一次函数无零点；二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出yx4与yx24x3的图像，平移直线x，可得(1，3(4，).答案 (1，3(4，)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.用分析法证明：2（
9、10分）证明：要证明2 (2)2854240，4240显然成立，2.18.已知命题p：x22x30；命题q：1，若“p且q”为真，求x的取值范围.（12分）解因为“p且q”为真，即q假p真，而q为真命题时，0，即2x3，所以q为假命题时，有x3或x2；p为真命题时，由x22x30，解得x1或x3，由得x3或1x2或x3，所以x的取值范围是x|x3或1x2或x0.又4x24，当仅当x时取“”.a422.20.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；（12
10、分）(1)证明设ACBDO，连接OM.PD平面MAC且平面PBD平面MACMO，PDMO.四边形ABCD是正方形，O为BD中点，所以M为PB中点.(2)解取AD中点E，连接PE.PAPD，PEAD，又平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，OE平面ABCD，PEOE，四边形ABCD是正方形，所以OEAD.建立如图所示空间直角坐标系，则B(2，4，0)，P(0，0，)，D(2，0，0)，易知平面PDA的一个法向量m(0，1，0).设平面BPD的法向量n(x0，y0，z0)，则令x1，则y1，z.可取n(1，1，).设二面角BPDA的平面角为(易知为锐
11、角)，则cos |cosm，n|，故二面角BPDA的大小为.21.已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解(1)抛物线C：x2y，它的焦点为F.2分(2)|RF|yR，23，得m.4分(3)存在，联立方程消去y得mx22x20(m0)，依题意，有(2)24m(2)8m40恒成立，方程必有两个不等实根.
12、6分设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P是线段AB的中点，P，即P，Q，8分得，.若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0，即0，10分结合(*)式化简得40，即2m23m20，m2或m，m0，m2.存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.12分22.设函数f(x)x2(a1)xalnx.（12分）(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)已知函数f(x)有极值m，求证：m0)，当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递增.当a0时，解f(x)0得xa，解f(x)0得0x0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增.(2)证明由(1)知，a0时，f(x)的极值mf(a)a2aalna.所以f(a)aln a，f(a)0有唯一实根记为a0.因为ln 0.50.6，所以a0(0.5，0.6).且f(a)在(0，a0)上递增，在(a0，)上递减.所以mf(a)f(a0)aa0a0ln a0aa0aaa00.620.60.781.故m1成立.