1、11.2弧度制预习课本P710，思考并完成下列问题1如何用角度制、弧度制来分别度量角？2如何将角从弧度化为角度，从角度化为弧度？ 3在弧度制下，扇形的弧长公式和面积公式分别是什么？1角的单位制(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值|.点睛(1)用弧度为单位表示角的
2、大小时，“弧度”两个字可以省略不写(2)不能忽略角的正、负2角度与弧度的换算(1)换算公式角度化弧度弧度化角度度数弧度数弧度数度数3602_rad 2 rad360180_rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30(2)一些特殊角的度数与弧度的换算度0130456090120135150180270360弧度023扇形的弧长与面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制lS弧度制lr(02)Slrr2(02)点睛(1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于，r，l，S可以“知二求二”(2)弧度制下的弧长公式和扇形面积公式有很多优越性，但要注意角必须化为弧度后再计算1弧
3、度和角度互化：(1)_；(2)270_.答案：(1)120(2)2半径为1 cm，圆心角为的弧长为_ cm.答案：3若4，则所在的象限为_答案：第二象限4把角690化为2k(02，kZ)的形式为_答案：4角度与弧度的互化典例把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4).解(1)7272 rad rad.(2)300300 rad rad.(3)2 rad2114.59.(4) rad40.(1)关系式180是关键，角度数乘以即为弧度数，弧度数乘以即为角度数(2)角的正、负不随互化而改变活学活用把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)450；(2)；(3)；(4)
4、11230.解：(1)450450 rad rad.(2) rad18.(3) rad240.(4)11230112.5112.5 rad rad.用弧度制表示角的集合典例(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)若4，0，且与(1)中终边相同，求.解(1)1 480 rad rad10.1 48010.(2)由(1)可知.与终边相同，2k，kZ.又4，0，42k0，kZ，即k，kZ，故k1或k2，当k1时，；当k2时，的值是，.(1)表示角的集合，要注意统一单位，不能既含有角度又含有弧度；(2)用弧度制表示与角终边相同的角记为2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，
5、条件kZ不能少活学活用如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)解：(1)如题图，以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)所以阴影部分内的角的集合为.(2)如题图，以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1，M2.所以阴影部分内的角的集合为M1M2.扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1已知扇形的半径为2 cm，圆心角为80，求扇形的弧长和面积解：已知扇形的圆心角80，半径r2 cm，则弧长lr2(cm)，所以
6、面积Slr2(cm2)题点二：利用公式求半径和弧度数2扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求扇形的半径和圆心角解：设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l cm，半径为r cm，依题意有由，得r1，l42r2，2.故所求扇形的半径为1 cm、圆心角为2 rad.题点三：利用公式求扇形面积的最值3已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为(02)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l2r30，故l302r，从而Slr(302r)rr215r2，所以，当r cm时，2，扇形面积最大，最大面积为 cm2.(1)使
7、用面积公式或弧长公式，首先应尽可能将角化为弧度(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，往往需要通过列方程(组)求解 层级一学业水平达标1将化为角度是_解析：75.答案：752是第_象限角解析：504，故与是终边相同的角，即是第一象限角答案：一3330化为2k(02，kZ)的形式，则_.解析：3303302，故.答案：4半径为 cm，圆心角为120的弧长为_ cm.解析：弧长l cm.答案：5把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是_解析：因为2，所以.答案：6用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_解析：若角的终边落在x轴上方，则2k2k(kZ)答案：|2k2k，kZ7已知集合M
8、，N，则M，N之间的关系为_解析：因为k(2k1)是的奇数倍，所以NM.答案：NM8下列命题中，正确的序号是_1弧度是长度为半径的弧；大圆中1弧度角比小圆中1弧度的角大；1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角；圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 ；长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度解析：由弧度的概念知，错误，正确；角的大小与圆的半径无关，所以不正确；因为弧长lr，所以当1时，lr(半径)所以不正确答案：9用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)解：(1)如题图，以OA为终边的角为2k，kZ，以OB为终边的角为2k，kZ，所以阴影部分的
9、角的集合为.(2)如题图，以OA为终边的角为2k，kZ，以OB为终边的角为2k，kZ，故阴影部分的角的集合为.10已知是第三象限的角，指出所在的象限；若同时满足条件|2|4，求的取值区间解：依题意，2k2k(kZ)，kk(kZ)，若k为偶数，则是第二象限的角；若k为奇数，则是第四象限的角因为|2|4，所以62，即6,2，结合数轴不难知道，.层级二应试能力达标1已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是_解析：由题意r，故l2.答案：2已知集合Ax|2kx2k，kZ，集合Bx|4x4，则AB_.解析：如图所示，AB4，0，答案：4，0，3若角的终边与角的终边关于直线yx对称，且
10、(4，4)，则_.解析：与终边相同的角的集合为.(4，4)，42k4(kZ)，化简得：k(kZ)kZ，k2，1,0,1，.答案：，4扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为_解析：如图，设扇形内切圆的半径为r，由扇形的圆心角为，知扇形的半径为3r，故内切圆的面积与扇形面积之比为r2：9r223.答案：235一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为_解析：由题意，这条弦所对的圆心角为，故圆周角为.答案：6.如图所示，已知扇形AOB的圆心角AOB为120，半径长为6，则阴影部分的面积是_解析：因为120，所以S扇形OAB6212，如图所示，过点O作ODAB，交AB于D点，于是有S
11、OABABOD(26cos 30)39.所以S阴影S扇形OABSOAB129.答案：1297若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相同的角解：因为2k(kZ)，所以(kZ)依题意02(kZ)，解得k(kZ)，所以k0,1,2，即在0,2)内终边与相同的角为，.8.如图，P，Q是以O为圆心，4为半径长的圆周上的动点，现点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转弧度，点Q按顺时针方向每秒转弧度，(1)求P，Q第一次相遇时所用的时间；(2)求P，Q第一次相遇时各自走过的弧长解：(1)设点P与Q第一次相遇时所用的时间是t s，则tt2，解得t4.所以P，Q第一次相遇时所用的时间为4 s.(2)点P走过的弧长为44，点Q走过的弧长为44.