1、专题五 解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题一、选择题1(2014陕西长安五校联考)过P(2,0)的直线l被圆(x2)2(y3)29截得的线段长为2时，直线l的斜率为()AB.C1D.解析由题意直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.由点到直线的距离公式得，圆心到直线l的距离为d，由圆的性质可得d212r2，即2129，解得k2，即k.答案A2(2014河北衡水中学调研)已知双曲线C1：1(a0，b0)的焦距是实轴长的2倍，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yB.x2yCx28yD.x216y解析
2、2c4a，c2a，又a2b2c2，ba，渐近线yx，焦点(0，)，d2，p8，抛物线方程为x216y.答案D3(2014菏泽一模)已知抛物线y24x的准线过双曲线1(a0，b0)的左焦点且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB的面积为，则双曲线的离心率为()A.B.4 C3D.2解析抛物线y24x的准线方程为：x1，由题意知，双曲线的左焦点坐标为(1,0)，即c1，且A，B，因为AOB的面积为，所以，21，即，所以，解得：a，e2.答案D4(2014辽宁卷)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为 ()A
3、.B. C.D.解析A(2,3)在抛物线y22px的准线上，2，p4，y28x，设直线AB的方程为xm(y3)2，将与y28x联立，得y28my24m160，则(8m)24(24m16)0，即2m23m20，解得m2或m(舍去)，将m2代入解得即B(8,8)，又F(2,0)，kBF，故选D.答案D二、填空题5(2014新课标全国卷)设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0,1)当x00即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1,0)符合要求；当x00时，过M作圆的切线，切点之一
4、为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1,1答案1,16已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为_解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.答案77(2014金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若|OA|
5、b，则该双曲线的离心率为_解析如图，延长F2A交PF1于B点，依题意可得|BF1|PF1|PF2|2a.又点A是BF2的中点，所以|OA|BF1|，即ba，ca，即e.答案8已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点若|AB|BF2|AF2|345，则椭圆的离心率为_解析设|AB|3t(t0)，则|BF2|4t，|AF2|5t，则|AB|BF2|AF2|12t.因为|AB|BF2|AF2|4a，所以12t4a，即ta.又|F1A|AF2|2a，所以|F1A|2aaa，|F1B|a，|BF2|a.由|AB|BF2|AF2|345，知ABBF2，故|F1
6、B|2|BF2|24c2，即(a)2(a)24c2，得a2c2.所以e2，即e.答案三、解答题9(2014长沙模拟改编)如图，已知直线l：yk(x1)(k0)与抛物线C：y24x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N.且|AM|2|BN|，求k值解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组：消去x得：ky24y4k0.因为直线与抛物线相交，所以有，(4)24k4k16(1k2)0，(*)y1，y2是方程的两根，所以有又因为|AM|2|BN|，所以，y12y2，解由组成的方程组，得k，把k代入(*)式检验，不等式成立所以，k.10(2013江苏卷)如图，在平面直角
7、坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，得1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为|MA|2|MO|，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以
8、D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD|21，即13.整理得85a212a0.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围是.11(2014北京卷)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)直线AB与圆x2y22相切证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t，故直线AB的方程为x.圆心O到直线AB的距离d.此时直线AB与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d .又x2y4，t，故d.此时直线AB与圆x2y22相切