1、河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试数学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合集合集合故选B.2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向上平移个单位D. 向下平移个单位【答案】A【解析】【分析】先变形：，再根据左加右减原理即可得解.【详解】因为，所以由函数的图象得到函数的图象，根据左加右减，只需向左平移个单位.故选：A.3. 已知函数，若函数为偶函数，且，则b的值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2
2、【答案】C【解析】【分析】由为偶函数，所以的对称轴为，再结合，即可求得的值.【详解】因为为偶函数，所以的对称轴为.又因为，所以的顶点坐标为.由，得，解得，故选：C.4. 已知等差数列的前项和为，与的等差中项为2，则的值为（ ）A. 6B. -2C. -2或6D. 2或6【答案】C【解析】【分析】根据题中已知条件及等差数列的性质求得首项a1和公差d，再利用等差数列前n项和公式，求得的值.【详解】设公差为，则由得，解得或，时，时，故选：C【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量的计算以及等差数列前n项和公式，属于基础题.5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】换元，
3、可得出，利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】换元，可得，且，所以，.故选：D.6. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先通过函数的定义域排除选项A，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R，而函数的定义域不是R,所以选项A不符合题意；由图象可知函数是一个奇函数，选项D中，存在实数，使得，所以函数不是奇函数，所以选项D不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项B，所以函数是一个非单调函数，所以选项C不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C，所以
4、函数是增函数，所以选项C符合题意.故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7. 已知表示实数m，n中的较小数，若函数，当时，有，则的值为（ ）A. 6B. 8C. 9D. 16【答案】B【解析】【分析】首先画出函数的图象，由图象确定当有时，即，再根据对数运算公式化简求值.【详解】作出函数的图象，如图中实线所示，由可知，所以，即，所以.故选：B【点睛】关键点点睛：本题一道数形结合分析问题典型题型，关键是理解，并画出函数的图象，属于中档题型.8. 设为数列的前n项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】
5、由递推式求出数列的首项,当时分为偶数和奇数求出,代入后分组,然后利用等比数列的前项和公式求解.【详解】由，当时，得；当时，即.当n为偶数时，所以（为正奇数），当n为奇数时，所以（为正偶数），所以，所以，所以，所以.因为.故选：A【点晴】方法点睛：本题考查已知数列与的关系式，求通项公式，分组求和，一般数列求和包含：1、公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2、错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3、裂项相消法求和，适用于能变形为；4、分组转化法求和，适用于；5、倒序相加法求和，适用于倒序相加后，对应的两项的和是常数的数列.二多选题：本题共4小题，每小题5分共20分.在每小
6、题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. （多选题）等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（ ）A. B. C. 当时最小D. 时的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】由题设可得基本量的关系，再把看成关于的二次函数.【详解】由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确；因为，由可知，当或时最小，故错误，令，解得或，即时的最小值为，故正确.故选：ABD【点睛】数列的函数观，通项是关于的一次函数；前项和是关于的二次函数.10. 设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定
7、区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（ ）A B. C. 0D. 【答案】AB【解析】【分析】首先求函数，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，根据恒成立求的取值范围.【详解】由题意得与在区间上同增或同减.若同增，则在区间上恒成立，即所以.若同减，则在区间上恒成立，即无解，所以A，B选项符合题意.故选：AB【点睛】思路点睛：本题考查指数函数单调性综合应用，本题的关键是读懂“稳定区间”的定义，同时讨论函数同为增函数或同为减函数，去绝对值后转化为恒成立问题.11. 已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则下列关于函数的说法错误的是（ ）A. 直线是图象的一
8、条对称轴B. 的最小正周期为C. 点是图象的一个对称中心D. 的最大值为【答案】AC【解析】【分析】由为的一条对称轴，结合的取值范围，即可求出的值，从而求出的解析式，再利用辅助角公式化简，结合余弦函数的性质计算可得；【详解】解：由为的一条对称轴，得，即.又因为，所以，所以，其中.易知，且，故A，C错误，B，D正确.故选：AC12. 已知函数在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A. 在区间上的单调性无法判断B. 图象的一个对称中心为C. 在区间上的最大值与最小值的和为D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的
9、2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则【答案】BC【解析】【分析】根据条件求出，然后利用正弦型函数的图象及其性质逐一判断即可.【详解】由题意得，即，又在区间上至少存在两个最大值或最小值，且在区间上具有单调性，所以，所以所以只有时满足，此时，即，因为，所以，所以在区间上单调递减，故A错误；由，所以为图象的一个对称中心，故B正确；因为，所以，所以最大值与最小值之和为，故C正确；将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象，即，故D错误.综上，BC正确故选：BC【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.三填空题：
10、本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为_.【答案】-2【解析】【分析】根据等比数列的前n项和，利用，求得，然后再成等差数列求解.【详解】因为等比数列的前n项和，当时；当时，所以，.又成等差数列，所以，即.由解得，所以.故答案为：-214. 已知函数的最大值为2.若函数在区间上至少取得两次最大值，则的最小整数值为_.【答案】2【解析】【分析】先将函数转化为，根据的最大值为2，由求得a，然后根据在区间上至少取得两次最大值确定的范围即可.【详解】因为，所以的最大值为，解得或(舍去)，所以，当时，函数取得最大值，当时，取得前两个最大值时，k分别为0和
11、1，当时，由，得，所以，所以的最小整数值为2.【点睛】方法点睛：解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将yf(x)化为yasin xbcos x的形式，然后用辅助角公式化为yAsin(x)b的形式，再借助yAsin(x)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题15. 记函数，其中表示不大于的最大整数，若方程在区间上有7个不同的实数根，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】在同一直角坐标系内，画出，的图像，结合图形，由题中条件，即可得出结果.【详解】在同一直角坐标系内，作出函数，的图象，如图所示，由图像可得，函数与在区间内有个交点，即方程在区间上有个实根，故方程在区间上有个不同
12、实根，即只需与在区间内有个交点，当直线经过点时，经过点时，.若在区间上有4个根，则.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.16. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则=_；的取值范围为_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】由余弦定理可转化条件为，再由正弦定理及三角恒
13、等变换即可得；再由正弦定理可得，换元后结合导数即可得解.【详解】由余弦定理得，即，所以，即，由正弦定理得，即，所以即，因为，所以或(舍去)，所以，即；因为，所以，所以，令，则，所以在区间上单调递增，又，所以.故答案为：2；.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦、余弦定理对条件合理变形，再利用换元、导数确定函数的取值范围.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积【答案】（1）；（2）.【解析】
14、【分析】（1）根据正弦定理化简即可（2）在，利用余弦定理求出，已知，可得，再余弦定理求出，即可和面积，可得四边形的面积【详解】解：（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，解得.在中，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18. 已知数列的前项和为,其中为常数.(1)证明:
15、；(2)是否存在实数,使得数列为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1），整理后即得结果；（2）由（1）可得，检验n=1也适合即可.详解：（1），；，（2），相减得：，从第二项起成等比数列，即，得， 若使 是等比数列则，（舍）或经检验得符合题意点睛：已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.19. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在中，内角，所对的边分别为，点，是边上的两个三等分点，_，求的长和
16、外接圆半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选择条件，用余弦定理，求得，再用余弦定理求得，最后由正弦定理可得外接圆半径；若选择条件，由三角形面积求得，得，然后用余弦定理求得，利用正弦定理求得外接圆半径；若选择条件，设，用余弦定理表示出后解得，然后同样由余弦定理求得，用正弦定理求得外接圆半径【详解】若选择条件因为，所以，设，所以；又，所以在中，即，即：，所以或-4（舍去）.在中，所以，同样，所以，由正弦定理可得：，所以外接圆半径为.若选择条件因为点，是边上的三等分点，且，所以，因为，所以，所以，所以.在中，所以，同样，所以，由正弦定理可
17、得：，所以外接圆半径为.若选择条件设，则，在中，同样在中，因为，所以，所以，在中，所以，同样，所以，由正弦定理可得：，所以外接圆半径为.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，掌握两个定理的应用是解题关键属于中档题20. 设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围.【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）先对求导，对导函数分和两种情况讨论即可.（2）因为函数在处取得最大值，所以，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可.【详解】解：（1），当时，所以的单调递增区间为，
18、无单调递减区间；当时，令，得或，所以的单调递增区间为和令，得，所以的单调递减区间为.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由题意得.因为函数在处取得最大值，所以，即，当时，显然成立.当时，得，即.令，则，恒成立，所以 是增函数，所以，即，所以a的取值范围为.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.21. 甲乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸
19、张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列的前n项和为，已知_，（1）判断的关系并给出证明.（2）若，设，的前n项和为，证明.甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列.如果甲乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.【答案】补充条件见解析；（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）可补充公比的值，由等比数列的通项公式和等差中项的性质，计算即可得所求得结论；（2）由等比数列的通项公式求得，再利用乘公比错位相减求和结合等比数列求和公式，不等式的性质即可得证.【详解】（1）补充的条件为，的关
20、系为成等差数列.证明如下：若则，可得，因此成等差数列.（2）证明：由，可得，解得，则，上面两式相减可得.整理可得，因为，所以.【点睛】关键点点睛：本题得关键点是利用成等差数列求出等比数列的公比才能求出，在利用乘公比错位相减求和时要仔细，必要时可以用万能公式建议求和的结果，再利用不等式的性质即可得证.22. 定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）（）当时，求的弹性区间D；（）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范
21、围【答案】（1），； （2）（），（）.【解析】【分析】（1）由，可得，根据题设条件，即可求得的弹性函数及弹性零点；（2）（）函数，可得函数的定义域为，函数是弹性函数，得出不等式组，进而求得函数的弹性区间；（）由在上恒成立，可得在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围.【详解】（1）由，可得，则，令，解得，所以弹性函数的零点为.（2）（）当时，函数，可得函数的定义域为，因为，函数是弹性函数，此不等式等价于下面两个不等式组：（） 或（），因为对应的函数就是，由，所以在定义域上单调递增，又由，所以的解为；由可得，且在上恒为正，则在上单调递增，所以，故在上恒成立，于是不等式组（）的解为，同的解法，求得的解为；因为时，所以不成立，所以不等式（）无实数解，综上，函数的弹性区间.（）由在上恒成立，可得在上恒成立，设，则，而，由（）可知，在上恒为正，所以，函数在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试题综合性强，属于难题
