1、二十五双曲线方程及性质的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知m1且m0,则二次曲线-=1与+=1必有()A.不同的顶点B.不同的焦距C.相同的离心率D.相同的焦点【解析】选D.若m-m0,则二次曲线-=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时c2=a2-b2=1-m-(-m)=1,故焦点坐标为(1,0),因此与椭圆+=1具有相同的焦点.当0m0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,x1+x2=-24,y1+y2=-30,由得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.3.设F是双曲线-=1(a0,b0)的右焦
2、点,过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右支均相交,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,)B.(1,)C.(,+)D.(,+)【解析】选C.双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点,且与双曲线左、右支各有一个交点,则3,即b29a2,c210a2,可得e.4.(2019全国卷)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.B.C.2D.3【解析】选A.由双曲线的方程-=1可得一条渐近线方程为y=x;在PFO中|PO|=|PF|,过点P作PHOF.因为tanPOF=,OF=,OH=O
3、F,所以PH=;所以SPFO=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若m是2和8的等比中项,则m=,圆锥曲线x2+=1的离心率是.【解析】因为m是2和8的等比中项,所以m2=28=16,解得m=4.当m=4时,曲线x2+=1,即x2+=1,表示焦点在y轴上的椭圆,因为=4且=1,所以a1=2,c1=,椭圆的离心率e1=;当m=-4时,曲线x2+=1,即x2-=1,表示焦点在x轴上的双曲线,同理可得a2=1,c2=,双曲线的离心率e2=.综上所述,m的值为4;圆锥曲线x2+=1的离心率是或.答案:4或6.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2
4、+y2=5上,则m的值是.【解析】由消去y得x2-2mx-m2-2=0.=4m2+4m2+8=8m2+80.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以5m2=5,所以m=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知双曲线的渐近线方程为y=2x,且过点(-3,4).(1)求双曲线的方程.(2)若直线4x-y-6=0与双曲线相交于A,B两点,求|AB|的值.【解析】(1)由双曲线的渐近线方程为y=2x,则设所求双曲线的方程为x2-=(0),把(-3,4
5、)代入方程,整理得:9-=,解得:=1,即双曲线的方程为:x2-=1.(2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得:3x2-12x+10=0,所以x1+x2=4,x1x2=,由弦长公式可知:|AB|=,所以|AB|的值为.8.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,虚轴长为4.(1)求双曲线的标准方程.(2)过点(0,1),倾斜角为45的直线l与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,求OAB的面积.【解析】(1)依题意可得解得a=1,b=2,c=,所以双曲线的标准方程为x2-=1.(2)直线l的方程为y=x+1,联立消去y得3x2-2x-5=0,设A(x1,y1),B(x
6、2,y2)由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=-,则|AB|=|x1-x2|=,原点到直线l的距离为d=,所以SOAB=|AB|d=.所以OAB的面积为.(15分钟30分)1.(5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线C右支上一点,若|F1F2|=|PF2|,PF1F2=30,则双曲线C的离心率为()A.+1B.C.+1D.【解析】选B.在等腰三角形PF1F2中,|F1F2|=|PF2|=2c,PF1F2=30,可得|PF1|=2c,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2c-2c=2a,即有e=.2.(5分)双曲线-=1(a0,b0)的右焦
7、点为F1(2,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且APF1周长的最小值为8,则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.2【解析】选D.由右焦点为F1(2,0),点A的坐标为(0,1),|AF1|=3,三角形APF1的周长的最小值为8,可得|PA|+|PF1|的最小值为5,设F2为双曲线的左焦点,可得|PF1|=|PF2|+2a,当A,P,F2三点共线时,|PA|+|PF1|取得最小值,且为|AF2|=3,即有3+2a=5,即a=1,c=2,可得e=2.3.(5分)如果双曲线-=1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点,则双曲线离心率的取值范围是.【解析】如图
8、,因为OA=AF,F(c,0),所以xA=,因为A在右支上且不在顶点处,所以a,所以e=2.答案:(2,+)4.(5分)已知双曲线C的方程为-=1(a0),过原点O的直线l与双曲线C相交于A,B两点,点F为双曲线C的左焦点,且AFBF,则ABF的面积为.【解析】双曲线C的方程为-=1(a0),过原点O的直线l与双曲线C相交于A,B两点,点F为双曲线C的左焦点,且AFBF,设AF=m,BF=n,可得m-n=2a,m2+n2=4c2,可得:m2+n2-2mn=4a2,可得:mn=c2-a2=b2=9.答案:95.(10分)已知双曲线C:-=1.(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线
9、的标准方程.(2)P为双曲线C右支上一动点,点A的坐标是(4,0),求|PA|的最小值.【解析】(1)由题可设所求双曲线的方程为-=(0),当0时,方程为-=1,令4=得=,即双曲线方程为-=1,当0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为.【解析】由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,又已知|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a,在PF1F2中,由余弦定理得cosF1PF2=-e2,要求e的最大值,即求cosF1PF2的最小值,因为cosF1PF2-1,所以cosF1PF2=-e2-1,解
10、得e,即e的最大值为.答案:2.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.(1)求双曲线C2的方程.(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且2,求k的取值范围.【解析】(1)设双曲线C2的方程为-=1(a0,b0),则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故双曲线C2的方程为-y2=1.(2)将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得所以k22,即x1x2+y1y22,所以2,即0,解得k23.由得k21,故k的取值范围为.关闭Word文档返回原板块
