1、2016-2017学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，则U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D42三个数a=0.67，b=70.6，c=log0.76的大小关系为（）AbcaBbacCcabDcba3下列四组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）Af（x）=x，Bf（x）=x，Cf（x）=x2，Df（x）=|x|，g（x）=4已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+，则下列结论正确的是（）Af（x）是奇函数，g（x）是偶函数Bf（
2、x）是偶函数，g（x）是奇函数Cf（x）和g（x）都是偶函数Df（x）和g（x）都是奇函数5已知函数f（x）=为自然对数的底数，则ff（e）=（）A0B1C2Deln 26已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（）的值为（）ABC4D47函数/f（x）=（）x+3x的零点所在的区间是（）A（2，1）B（0，1）C（1，0）D（1，2）8函数f（x）=a（0a1）的单调递增区间是（）A（，）B（，+）C（，）D（，+）9函数f（x）=ln（|x|1）的大致图象是（）ABCD10已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（，0上单调递减，则不等式f（lgx）f（2）的解集是（）A（，100
3、）BC（，+）D（0，）11已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P=；投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q=（a0）若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为（）AB5CD2二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分12若100a=5，10b=2，则2a+b=13函数f（x）=的定义域是14若函数f（x）=|2x2|m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是三、解答题：本大题共3个小题，共30分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（1）计算：272log2+log23log34；（2）已知0x1，且x+x1=3，求xx的值16
4、已知A=x|2x2+ax+2=0，B=x|x2+3xb=0，且AB=2（1）求a，b的值；（2）设全集U=AUB，求（UA）U（UB）17已知函数f（x）=bax（a0，且a1，bR）的图象经过点A（1，6），B（3，24）（1）设g（x）=，确定函数g（x）的奇偶性；（2）若对任意x（，1，不等式（）x2m+1恒成立，求实数m的取值范围一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分18设所有被4除余数为k（k=0，1，2，3）的整数组成的集合为Ak，即Ak=x|x=4n+k，nZ，则下列结论中错误的是（）A2016A0B1A3CaAk，bAk，则abA0Da+bA3，则aA1，bA219若函数f
5、（x）=lg（ax1）lg（x1）在区间2，+）上是增函数，则a的取值范围是三、本大题共3个大题，共38分（本小题满分38分）20已知函数f（x）=x2+4ax+2a+6（1）若函数f（x）=log2 f（x）的最小值为2，求a的值；（2）若对任意xR，都有f（x）0成立，求函数g（a）=2a|a+3|的值域21今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）a|+2a+1，x0，24，其中a为空气治理调节参数，且a（0，1）（1）若a=，求一天中哪个时
6、刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22已知函数f（x）=，g（x）=ax3（1）当a=l时，确定函数h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上的单调性；（2）若对任意x0，4，总存在x02，2，使得g（x0）=f（x）成立，求 实数a的取值范围2016-2017学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，则U（AB）
7、=（）A1，3，4B3，4C3D4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据已知中集合U，A，B，结合集合的并集和补集运算的定义，可得答案【解答】解：集合A=1，2，B=2，AB=1，2，又全集U=1，2，3，4，U（AB）=3，4，故选：B2三个数a=0.67，b=70.6，c=log0.76的大小关系为（）AbcaBbacCcabDcba【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：0a=0.671，b=70.61，c=log0.760，cab，故选：C3下列四组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）Af（x）=x，Bf（x）=x，Cf（x）=x2，
8、Df（x）=|x|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数【分析】利用函数的三要素：定义域、对应关系、值域进行判断，从而进行求解；【解答】解：A、可知g（x）=，f（x）=x，两个函数对应关系不一样，故不是同一函数，故A错误；B、f（x）=x，xR，g（x）=（）2=x，x0，定义域不一样，故B错误；C、f（x）=x2，xR，g（x）=，x0，f（x）与g（x）定义域不一样，故C错误；D、f（x）=|x|=，与g（x）定义域，解析式一样，故f（x）与g（x）表示同一函数，故D正确；故选D；4已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+，则下列结论正确的是（）Af（x）是奇函数，g（x）是偶函
9、数Bf（x）是偶函数，g（x）是奇函数Cf（x）和g（x）都是偶函数Df（x）和g（x）都是奇函数【考点】函数奇偶性的判断【分析】运用奇偶函数的定义，即可判断f（x），g（x）的奇偶性【解答】解：函数f（x）=x+，定义域为x|x0关于原点对称由f（x）=x=（x+）=f（x），可得f（x）为奇函数；g（x）=2x+，定义域为R，由g（x）=2x+2x=g（x），则g（x）为偶函数故选：A5已知函数f（x）=为自然对数的底数，则ff（e）=（）A0B1C2Deln 2【考点】函数的值【分析】利用分段函数真假求解函数值即可【解答】解：函数f（x）=为自然对数的底数，则ff（e）=f（lne）=f
10、（1）=2故选：C6已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（）的值为（）ABC4D4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】利用幂函数的定义即可得出【解答】解：设幂函数f（x）=x，幂函数f（x）的图象过点（2，），解得=2f（x）=x2则f（）=4故选：D7函数/f（x）=（）x+3x的零点所在的区间是（）A（2，1）B（0，1）C（1，0）D（1，2）【考点】函数零点的判定定理【分析】直接利用零点判定定理判定求解即可【解答】解：函数f（x）=（）x+3x，可得f（2）=0，f（1）=0，f（0）=10，f（1）0，故选：C8函数f（x）=a（0a1）的单调递增区间是（）A（，
11、）B（，+）C（，）D（，+）【考点】复合函数的单调性【分析】利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解【解答】解：设t=g（x）=x2+3x+2，则y=at，0a1为减函数，若求f（x）=a（0a1）的单调递增区间，则等价为求t=g（x）=x2+3x+2的单调递减区间，t=g（x）=x2+3x+2的单调递减区间为（，+），函数f（x）=a（0a1）的单调递增区间是（，+），故选：B9函数f（x）=ln（|x|1）的大致图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用函数的单调性判断即可【解答】解：函数f（x）=ln（|x|1）是偶函数，所以选项C，D不正确；
12、当x1时，函数f（x）=ln（x1）是增函数，所以A不正确；B正确；故选：B10已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（，0上单调递减，则不等式f（lgx）f（2）的解集是（）A（，100）BC（，+）D（0，）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可【解答】解：f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（，0上是单调递减，在区间（0，+）上为增函数，则不等式f（lgx）f（2）等价为f（|lgx|）f（2）即|lgx|2，lgx2或lgx2，0x或x100，故选D11已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P=；投资x万元经销乙商品所获得的利
13、润为Q=（a0）若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为（）AB5CD2【考点】函数模型的选择与应用【分析】设投资甲商品20x万元，则投资乙商品x万元（0x20），由题意，可得P+Q5，0x20时恒成立，化简求最值，即可得到结论【解答】解：设投资甲商品20x万元，则投资乙商品x万元（0x20）利润分别为P=，Q=（a0）P+Q5，0x20时恒成立则化简得a，0x20时恒成立（1）x=0时，a为一切实数；（2）0x20时，分离参数a，0x20时恒成立a要比右侧的最大值都要大于或等于 右侧的最大值为a故选A二、填空题：本大题共3个小题，每小题
14、5分，共15分12若100a=5，10b=2，则2a+b=1【考点】基本不等式【分析】先把指数式化为对数式即可得出【解答】解：100a=5，10b=2，=，b=lg2，2a+b=lg2+lg5=1故答案为113函数f（x）=的定义域是（，0）【考点】函数的定义域及其求法【分析】要使函数f（x）=有意义，只需12x0，即2x1，运用指数函数的单调性，即可得到所求定义域【解答】解：要使函数f（x）=有意义，只需12x0，即2x1，解得x0则定义域为（，0）故答案为：（，0）14若函数f（x）=|2x2|m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，2）【考点】函数零点的判定定理【分析】把函数f（x
15、）=|2x2|m的零点转化为函数y=|2x2|与y=m的图象交点的横坐标，画出两个函数的图象，数形结合得答案【解答】解：由f（x）=|2x2|m=0，得|2x2|=m，画出函数y=|2x2|与y=m的图象如图，由图可知，要使函数f（x）=|2x2|m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，2）故答案为：（0，2）三、解答题：本大题共3个小题，共30分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（1）计算：272log2+log23log34；（2）已知0x1，且x+x1=3，求xx的值【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【分析】（1）利用指数与对数的原式性质即可得出（2）由=x+x
16、12，由0x1，可得xx1，即可得出【解答】解：（1）原式=+=9（3）+2=11+3（2）x+x1=3，=x+x12=32=1，0x1，xx1，xx=116已知A=x|2x2+ax+2=0，B=x|x2+3xb=0，且AB=2（1）求a，b的值；（2）设全集U=AUB，求（UA）U（UB）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】（1）根据A与B的交集中元素2，代入A与B的方程中计算即可求出a与b的值；（2）把a与b的值代入确定出A与B，即可求出A补集与B补集的交集【解答】解：（1）把x=2代入A中方程得：8+2a+2=0，解得：a=5，把x=2代入B中方程得：4+6b=0，解得：b=10；（2
17、）由（1）得：A=，2，B=5，2，全集U=AB=5，2，UA=5，UB=，则（UA）U（UB）=5， 17已知函数f（x）=bax（a0，且a1，bR）的图象经过点A（1，6），B（3，24）（1）设g（x）=，确定函数g（x）的奇偶性；（2）若对任意x（，1，不等式（）x2m+1恒成立，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，即可求得f（x）与g（x），在利用奇偶性定义判断g（x）是奇函数；（2）对任意x（，1，不等式（）x2m+1恒成立 即可转化为：2m+1在x1上恒成立；【解答】解：（1）根据题意得：，a=2，b=3f（x）=3
18、2x；故g（x）=；g（x）定义域为R；g（x）=；=；=g（x）；所以，g（x）为奇函数（2）设h（x）=，则y=h（x）在R上为减函数；当x1时，h（x）min=h（1）=；h（x）=2m+1在x1上恒成立：h（x）min2m+1m；故m的取值范围为：（，一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分18设所有被4除余数为k（k=0，1，2，3）的整数组成的集合为Ak，即Ak=x|x=4n+k，nZ，则下列结论中错误的是（）A2016A0B1A3CaAk，bAk，则abA0Da+bA3，则aA1，bA2【考点】元素与集合关系的判断【分析】根据题目给的新定义，逐一分析即可【解答】解：有题意得：对
19、于A，20164=5040，故A对；对于B，1=4（1）+3，故B对；对于C，a=4n+k，b=4n+k，故ab=4（nn）+0，故C正确，故选D19若函数f（x）=lg（ax1）lg（x1）在区间2，+）上是增函数，则a的取值范围是a!【考点】对数函数的单调区间；函数单调性的性质【分析】先根据符合函数的单调性的判断方法得出a1，然后根据函数的定义域再确定a 的取值范围即可【解答】解：有题意可得：f（x）=lg，y=lgx在定义域上是单调增函数，且函数f（x）=lg（ax1）lg（x1）在区间2，+）上是增函数，y=在2，+）上是增函数，a10，a1，当0a1时，函数的定义域为（），a，当a0
20、时，定义域为，a!，故答案为：a!三、本大题共3个大题，共38分（本小题满分38分）20已知函数f（x）=x2+4ax+2a+6（1）若函数f（x）=log2 f（x）的最小值为2，求a的值；（2）若对任意xR，都有f（x）0成立，求函数g（a）=2a|a+3|的值域【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质【分析】（1）因为函数f（x）=log2 f（x）的最小值为2，即f（x）的最小值为4；关键在于2a+64a2=4（2）函数f（x）0恒成立，所以0；同时可得g（a）在区间1，单调递减，即可求出g（a）的值域【解答】解：（1）函数f（x）=log2f（x）的最小值为2，即f（x）的最小值为4；
21、f（x）=x2+4ax+2a+6=（x+2a）2+2a+64a24；2a+64a2=4a=1 或 a=；（2）函数f（x）0恒成立，=16a24（2a+6）0，计算得出：1；g（a）=2a|a+3|=2a（a+3）=（a+）2+；g（a）在区间1，单调递减；g（a）min=g（）=，g（a）max=g（1）=4函数g（a）的值域为，421今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）a|+2a+1，x0，24，其中a为空气治理调节参数，且a（0，1）（
22、1）若a=，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）a=时，f（x）=|log25（x+1）|+2，x0，24，令|log25（x+1）|=0，解得x即可得出（2）令f（x）=|log25（x+1）a|+2a+1=，再利用函数的单调性即可得出【解答】解：（1）a=时，f（x）=|log25（x+1）|+2，x0，24，令|log25（x+1）|=0，解得x=4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低（2）令f（x）=|log
23、25（x+1）a|+2a+1=，当x（0，25a1时，f（x）=3a+1log25（x+1）单调递减，f（x）f（0）=3a+1当x25a1，24）时，f（x）=a+1+log25（x+1）单调递增，f（x）f（24）=a+1+1联立，解得0a可得a因此调节参数a应控制在范围22已知函数f（x）=，g（x）=ax3（1）当a=l时，确定函数h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上的单调性；（2）若对任意x0，4，总存在x02，2，使得g（x0）=f（x）成立，求 实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明【分析】（1）由题意：当a=l时，确定函数h（x）=f（x）g（x）=
24、）=x+3判断x在（0，+）上与x的大小可得单调性（2）求解x0，4上函数f（x）=的值域M，x02，2上，对a讨论函数g（x）=ax3的值域N，根据MN，可得实数a的取值范围【解答】解：（1）由题意：当a=l时，确定函数h（x）=f（x）g（x）=）=x+3x（0，+）则=0，h（x）在（0，+）上是单调增函数（2）由题意：x0，4上函数f（x）=的值域M=3，5，设函数g（x）=ax3的值域Nx02，2，g（x）=ax3当a=0时，g（x）=3，即值域N=3，MN，不满足题意当a0时，函数g（x）在定义域内为增函数，其值域N=2a3，2a3，MN，需满足，解得：a4当a0时，函数g（x）在定义域内为减函数，其值域N=2a3，2a3，MN，需满足解得：a4综上所得：对任意x0，4，总存在x02，2，使得g（x0）=f（x）成立，实数a的取值范围是（，44，+）2017年4月20日
