1、第2课时直线与平面平行的性质学习目标1.理解直线与平面平行的性质定理.2.掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用定理证明一些简单的问题.知识点直线与平面平行的性质定理思考1如图，直线l平面，直线a平面，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线.思考2如图，直线a平面，直线a平面，平面平面直线b，满足以上条件的平面有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个，ab.梳理表示定理图形文字符号直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行ab类型一线面平行的性质定理的应用命题角度1用线面平行的性质定理证明线线
2、平行例1如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：APGH.证明连结MO.四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点.又M是PC的中点，APOM.又AP平面BDM，OM平面BDM，AP平面BDM.又AP平面APGH，平面APGH平面BDMGH，APGH.反思与感悟(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面.确定交线.由定理得出结论.(2)常用到中位线定理、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等
3、.具体应用时，应根据题目的具体条件而定.跟踪训练1如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.证明因为AB平面MNPQ，平面ABC平面MNPQMN，且AB平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知ABMN.同理ABPQ，所以MNPQ.同理可得MQNP.所以截面MNPQ是平行四边形.命题角度2用线面平行的性质求线段比例2如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC平面MEF，试求PMMA的值.解如图，连结BD交AC于点O1，连结OM，因为PC平面MEF，平面PAC
4、平面MEFOM，所以PCOM，所以，在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以.又AO1CO1，所以，故PMMA13.反思与感悟破解此类题的关键：一是转化，即把线面平行转化为线线平行；二是计算，把要求的线段长或线段比问题，转化为同一个平面内的线段长或线段比问题去求解，此时需认真运算，才能得出正确的结果.跟踪训练2如图所示，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B平面B1CD，则A1DDC1的值为_.答案1解析连结BC1，设B1CBC1E，连结DE.由A1B平面B1CD可知，A1BDE.因为E为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，所以A1DD
5、C1的值为1.类型二线线平行与线面平行的相互转化例3已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.已知如图，直线a、b，平面，且ab，a，a、b都在平面外.求证b.证明过a作平面，使它与平面相交，交线为c.因为a，a，c，所以ac，因为ab，所以bc，又因为c，b，所以b.反思与感悟直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理.跟踪训练3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EHA1D1
6、，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG平面ADD1A1.证明因为EHA1D1，A1D1B1C1，EH平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH平面BCC1B1.又平面FGHE平面BCC1B1FG，所以EHFG，即FGA1D1.又FG平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG平面ADD1A1.1.已知a，b表示直线，表示平面.下列命题中，正确的个数是_.若a，b，则ab；若a，b，则ab；若ab，b，则a.答案0解析错，直线a与b的关系可以是平行，也可以是相交或异面；错，a与b可能平行，也可能异面；错，直线a也可能在平面内.2.直线a平面，P，过点
7、P平行于a的直线_.(填序号)只有一条，不在平面内；有无数条，不一定在内；只有一条，且在平面内；有无数条，一定在内.答案解析由线面平行的性质定理知，过点P平行于a的直线只有一条，且在平面内，故填.3.一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是_.答案梯形解析如图所示，AC平面EFGH，则EFHG.而对角线BD与平面EFGH不平行，所以EH与FG不平行.所以EFGH是梯形.4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF平面AB1C，则线段EF的长度为_.答案解析EF平面AB1C，又
8、平面ADC平面AB1CAC，EF平面ADC，EFAC.E是AD的中点，EFAC2.5.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.解直线l平面PAC.证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以l平面PAC.1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的
9、性质.2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.课时作业一、填空题1.过平面外的直线l作一组平面与相交，如果所得的交线为a，b，c，则这些交线的位置关系为_.都平行；都相交但不一定交于同一点；都相交且一定交于同一点；都平行或都交于同一点.答案解析分l和l与相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点.2.如图，已知平面平面a，平面平面b，平面平面c，若ab，则c与a，b的位置关系是_.答案平行解析ab，a，b，a.又a，c，ac，abc.3.已知异面直线a，b外的一点M，那么过点M
10、可以作_个平面与直线a，b都平行.答案0或1解析过点M分别作直线a，b的平行线，若其中一条平行线与已知直线a或b相交，则满足题意的平面不存在.否则过点M的两条相交直线确定的平面与a，b都平行.4.如图，a，A是另一侧的点，B，C，Da，线段AB，AC，AD分别交于E，F，G，则BD与EG的位置关系是_.答案BDEG解析因为a，平面平面ABDEG，所以aEG，即BDEG.5.如图，四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为_.答案32解析CDAB，CD平面SAB，AB平面SAB，CD平面SAB.又平面CDEF平面SABEF
11、，CDEF，又CDAB，ABEF.SEEA，EF为ABS的中位线，EFAB1，又DECF，四边形DEFC的周长为32.6.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB，CD，ACE，ADF，BDH，BCG，则四边形EFHG的形状是_.答案平行四边形解析AB，平面ABCEG，EGAB.同理FHAB，EGFH.又CD，平面BCDGH，GHCD.同理EFCD，GHEF，四边形EFHG是平行四边形.7.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC平面EFGH，BD平面EFGH，ACm，BDn，则当四边形EFGH是菱形时，AEEB_.答案mn解析AC平面EFGH，EF
12、AC，HGAC，EFHGm.同理，EHFGn，mn，AEEBmn.8.已知正方体AC1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，则线段PQ的长为_.答案解析如图，连结AD1，AB1，PQ平面AA1B1B，平面AB1D1平面AA1B1BAB1，PQ平面AB1D1，PQAB1，PQAB1.9.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为_.答案46解析由EF平面BCC1B1可知，平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周
13、长为EFFBBC1C1E46.10.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ_.答案解析易知EF平面ABCD，PQ平面PEF平面ABCD，EFPQ，易知DPDQ，故PQDP.二、解答题11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1A1EF，B1CC1EG.求证：ACFG.证明ACA1C1，A1C1平面A1EC1，AC平面A1EC1，AC平面A1EC1.又平面A1EC1平面AB1CFG，ACFG.12.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面
14、外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD平面PBCl.(1)求证：BCl；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.(1)证明BCAD，AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD.又平面PAD平面PBCl，BC平面PBC，BCl.(2)解MN平面PAD.证明如下：如图所示，取PD的中点E.连结EN、AE.N为PC的中点，EN綊AB.EN綊AM，四边形ENMA为平行四边形，AEMN.又AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.13.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点，点M在侧棱PC上，且PMtPC，若PA平面MQB，试确定实数t
15、的值.解如图，连结BD，AC，AC交BQ于点N，交BD于点O，连结MN，则O为BD的中点.BQ为ABD中AD边的中线，N为正三角形ABD的中心.设菱形ABCD的边长为a，则ANa，ACa.PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMN，PAMN，PMPCANAC，即PMPC，则t.三、探究与拓展14.长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形.E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AECF8.P在棱AA1上，且AP2，若EF平面PBD，则CF_.答案2解析连结AC交BD于点O，连结PO，过点C作CQOP交AA1于点Q.EF平面PBD，EF平
16、面EACF，平面EACF平面PBDPO，EFPO.又CQOP，EFQC，QECF，四边形ABCD是正方形，CQOP，PQAP2.AECFAPPQQECF22CFCF8，CF2.15.如图所示，已知正三棱柱ABCABC中，D是AA上的点，E是BC的中点，且AE平面DBC.试判断D点在AA上的位置，并给出证明.解点D为AA的中点.证明如下：取BC的中点F，连结AF，EF，如图.设EF与BC交于点O，易证AEAF，AEAF，易知A，E，F，A共面于平面AEFA.因为AE平面DBC，AE平面AEFA，且平面DBC平面AEFADO，所以AEDO.在平行四边形AEFA中，因为O是EF的中点(因为ECBF，且ECBF)，所以点D为AA的中点.