1、专题二 函数与方程（2）【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数 （1）求函数和的解析式；（2）是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）定义，且， 当时，求的解析式；已知下面正确的命题： 当时，都有恒成立. 若方程恰有15个不同的实数根，确定的取值；并求这15个不同的实数根的和.【答案】（1）函数函数4分（2），6分则当且仅当时，即.综上可知当时，有恒成立.8分（3） 当时，对于任意的正整数， 都有，故有 .13分 由可知当时，有，根据命题的结论可得，当时，故有，因此同理归纳得到，
2、当时，15分时， 解方程得，要使方程在上恰有15个不同的实数根，则必须 解得方程的根17分这15个不同的实数根的和为：.18分【上海市虹口区2013届高三上学期期末文】（本题满分18分）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得，则称此函数具有“性质”.（1）判断函数是否具有“性质”，若具有 “性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由.（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值.（3）设函数具有“性质”.且当时，若 与交点个数为2013个，求实数的值.【答案】解：（1）由得，根据诱导公式得具有“性质”，其中4分（2）具有“性质”，设，则，6分当时，在递增，时当时，在上递
3、减，在上递增，且， 时当时，在上递减，在上递增，且，时综上所述：当时， ；当时，11分（3）具有“性质”，从而得到是以2为周期的函数又设，则，再设（），当（），则，；当（），则，；对于，（），都有，而，是周期为1的函数当时，要使得与有2013个交点，只要与在有2012个交点，而在有一个交点过，从而得当时，同理可得当时，不合题意综上所述18分【上海市徐汇区2013届高三上学期期末文】（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑形成顶角为的等腰三角形，且，如果地面上有()高
4、的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).(1) 当轮胎与、同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为；(2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求的最大值. (精确到1cm).【答案】解：(1) 当轮胎与AB、BC同时接触时，设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由ABC=1200，知OBT=600， .2分故|OB|=. . .4分 所以，从B点到轮胎最上部的距离为+40 .6分此轮胎露在水面外的高度为d=+40-(+h)=，得证. .8分 (2)只要d40， .12分即40，解得h16cm.，所以h的最大值
5、为16cm. 14分【上海市普陀区2013届高三上学期期末文】（本题满分16分）和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）若函数，与互为“函数”,证明：.（2）若集合，函数，判断函数与在上是否互为“ 函数”，并说明理由.（3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合.【答案】（1）证明：函数与互为“函数“,则对于, 恒成立.即在上恒成立2分化简得2分所以当时，即1分（2）假设函数与互为“函数”，则对于任意的 恒成立.即，对于任意恒成立2分.当时，. 不妨取，则，所以2分 所以假设不成立，在集合上，函数与不是互为“函数”1分.（3）由题意得，（且）2
6、分 变形得，由于且 ，因为，所以，即2分 此时，集合2分【上海市松江区2013届高三上学期期末文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数当不超过4（尾/立方米）时，的值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）（1）当时，求函数的表达式；（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值【答案】（1）由
7、题意：当时，； 2分当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得 4分故函数= 6分（2）依题意并由（1）可得 8分当时，为增函数，故； 10分当时， 12分所以，当时，的最大值为 当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米14分【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为的矩形健身场地，如图点M在上，点N在上，且P点在斜边上，已知且米，.（1）试用表示，并求的取值范围；（2）设矩形健身场地每平方米的造价为，
8、再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（为正常数），求总造价关于的函数；试问如何选取的长使总造价最低（不要求求出最低造价）. 【答案】（1）在中，显然，2分矩形的面积，4分于是为所求.6分（2） 矩形健身场地造价 7分又的面积为，即草坪造价，8分由总造价，.10分，11分当且仅当即时等号成立，12分此时，解得或，所以选取的长为12米或18米时总造价最低.14分【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文） 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点EMN是由电脑控制
9、其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆 （1）设MN与AB之间的距离为米，试将EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； （2）求EMN的面积S（平方米）的最大值GEABNDMC（文21题）【答案】解：（1）如图1所示，当MN在正方形区域滑动，即0x2时， EMN的面积S=；2分如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即2x时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H， E为AB中点，EABGNDMC图2HF F为CD中点，GFCD，且FG.又 MNCD， MNGDCG ，即5分故EMN的面积S； 7分综合可得： 8分说明：讨论的
10、分段点x=2写在下半段也可（2）当MN在正方形区域滑动时，所以有；10分当MN在三角形区域滑动时，S=.因而，当（米），S在上递减，无最大值，所以当时，S有最大值，最大值为2平方米. 14分ENGDMABC图1【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知，当点在的图像上运动时，点在函数的图像上运动（）（1）求的表达式；（2）若方程有实根，求实数的取值范围；（3）设，函数（）的值域为，求实数，的值【答案】解：（1）由得，所以，（）4分（2），即（）6分，令，所以，当时，即实数的取值范围是10分（3）因
11、为，所以在上是减函数12分所以即，所以 16分【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称求证：函数是偶函数；（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；（3）对于确定的时，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由【答案】因为关于原点对称，1分又函数的图像关于直线对称，所以 2分又， 用代替得 3分由可知，即函数是偶函数；4分（2）当时，；10分（3）当时，12分显然时，函数在区间上不是单调函数 13分又时，是增函数， 此时14
12、分若函数在区间上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有， 16分解得 18分【上海市闸北区2013届高三上学期期末文】（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区已知种植区的占地面积为平方米（1）设试验田的面积为，求函数的解析式；（2）求试验田占地面积的最小值【答案】解：设的长与宽分别为和，则 （3分） （2分）试验田的面积 （2分）令，则， （4分）当且仅当时，即，此时， （2分）答: 试验田的长与宽分别为44米、22米时
13、，占地面积最小为968米2. （1分）【上海市闸北区2013届高三上学期期末文】本题满分15分，第1小题满分9分，第2小题满分6分）设定义域为的奇函数在区间上是减函数（1）求证：函数在区间上是单调减函数； （2）试构造一个满足上述题意且在内不是单调递减的函数（不必证明）【答案】解（1）任取，则由 （2分）由在区间上是单调递减函数，有， （3分）又由是奇函数，有，即 （3分）所以，函数在区间上是单调递减函数 （1分）（2）如 或等 （6分）【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步
14、增强，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析，得出学生的注意力指数随时间（分钟）的变化规律为：（1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）【答案】（1）由于学生的注意力指数不低于80，即当时，由得； 2分当时，由得；2分所以，故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有分钟. 3分（2）设教师上课后从第分钟开始讲解这道题，由于
15、所以 2分要学生的注意力指数最低值达到最大，只需即 2分解得 2分所以，教师上课后从第分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最大. 1分 【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】已知函数.（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；（2）用定义证明函数在上是增函数；（3）如果当时，函数的值域是，求与的值.【答案】（1）令，解得, 2分对任意所以函数是奇函数. 2分另证：对任意所以函数是奇函数. 2分（2）设， 2分 2分，所以函数在上是增函数. 2分（3）由（2）知，函数在上是增函数，又因为时，的值域是，所以且在的值域是， 2分故且（结合图像易得） 2分解得（舍去）所以， 2分【上海市
16、长宁区2013届高三上学期期末文】 (本小题满分18分) （文）已知二次函数。（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围。【答案】解：（1）当时，不合题意；1分当时，在上不可能单调递增；2分当时，图像对称轴为，由条件得，得 4分（2）设， 5分当时， 7分因为不等式在上恒成立，所以在时的最小值大于或等于2，所以， ， 9分解得。 10分（3）在上是增函数，设，则，12分因为，所以， 14分而， 16分所以 18分【上海市嘉定区2013届高三上学期期末文】（本题满分18分）已知，函数（1）当时，写出函数的单调
17、递增区间（不必证明）；（2）当时，求函数在区间上的最小值；（3）设，函数在区间上既有最小值又有最大值，请分别求出、的取值范围（用表示）【答案】（1）当时， ，（2分）所以，函数的单调递增区间是和（4分）（2）因为，时，（1分）当，即时，（3分）当，即时，（5分）所以， （6分）Oxy（3）（1分）当时，函数的图像如图所示，由解得，（1分）Oxy所以，（4分）当时，函数的图像如图所示，由解得，（5分）所以，（8分）【上海市奉贤区2013届高三上学期期末文】（文）设函数定义域为，且.设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（4分）（2）
18、设点的横坐标，求点的坐标（用的代数式表示）；（7分）（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.（7分）【答案】解：（1）、因为函数的图象过点，所以 2分函数在上是减函数. 4分 （2）、（文）设 5分直线的斜率为 6分则的方程 7分联立 8分 11分3、 12分 13分， 14分 ， 15分 ， 16分 17分当且仅当时，等号成立. 此时四边形面积有最小值. 18分【上海市崇明县2013届高三上学期期末文】（本题16分，第(1)小题4分；第(2)小题6分；第(3)小题6分）设函数.（1）当时，求函数在区间内的零点；（2）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（3）设，若对任意，有，求的取值范围【答
19、案】解：（1），令，得，所以。（2）证明：因为 ，。所以。所以在内存在零点。 ，所以在内单调递增，所以在内存在唯一零点。（3）当n2时，f2(x)x2bxc.对任意x1，x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4等价于f2(x)在1,1上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下：当，即|b|2时，M|f2(1)f2(1)|2|b|4，与题设矛盾。当10，即0b2时，Mf2(1)f2()(1)24恒成立 当01，即2b0时，Mf2(1)f2()(1)24恒成立 综上可知，2b2.注：，也可合并证明如下：用maxa，b表示a，b中的较大者当11，即2b2时，Mmaxf2(1)，f2(1)f2(
20、)1c|b|(c)(1)24恒成立【上海市徐汇区2013届高三上学期期末文】(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数=. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)求的反函数，并求使得函数有零点的实数的取值范围.【答案】(1)f(x)的定义域为 .2分 f(-x)=log2=log2=-f(x)， 所以，f(x)为奇函数. .6分 (2)由y=，得x=, 所以，f -1(x)= ,x0. .9分 因为函数有零点，所以，应在的值域内.所以，log2k=1+, .13分 从而，k. .14分【上海市黄埔区2013届高三上学期期末文】（本题满分18分）本题共有
21、3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”设函数的定义域为，且（1）若是的一个“P数对”，求；（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；（3）若是增函数，且是的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由与；与 【答案】解：（1）由题意知恒成立，令，可得，数列是公差为1的等差数列，故，又，故 3分（2）当时，令，可得，由可得，即时， 4分可知在上的取值范围是 又是的一个“P数对”，故恒成立，当时， 6分故当为奇数时，的取值范围是；当为偶数时，的取值范围是 8分由此可得在上的最大值为，最小值为10分（3）由是的一个“P数对”，可知恒成立，即恒成立， 令，可得， 12分即，又，是一个等比数列，所以 15分当时，由是增函数，故，又，故有18分【上海市宝山区2013届高三上学期期末文】本题满分14分）已知函数，.（1）当时，求的定义域；（2）若恒成立，求的取值范围【答案】解：（1）由3分解得的定义域为6分（2）由得，即9分令，则，12分 当时，恒成立14分版权所有：高考资源网()
