1、计数原理测评(时间90分钟，满分100分）一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1.从集合1，2，3，11中任选两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B=（x,y)|x|11且|y|9内的椭圆个数为A.43 B.72 C.86 D.90答案:1.B 解析：m1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,n1,2,3,4,5,6,7,8.故椭圆个数为CC-8=72个.2.北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A. B.C. D.答案:A 解析：由题意，不同的排班种数为
2、CC=C.3.五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有A.60种 B.48种 C.36种 D.24种答案:C 解析：甲排第一位时，乙、丙不排第二位，有CA种排法；甲排第二位时，乙、丙只能排四、五位，有AA种排法；甲排第三位时，只乙、丙能排首尾，有AA种排法；甲排第四位，乙、丙只能排第一、二位，有AA种排法；甲排第五位时，乙、丙只能排第一、二、三位，有CA种排法，共有（12+4+4+4+12）=36种排法.4.(2007山东潍坊一模)为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，若12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个不同的代表队，则不同
3、获奖情况种数共有A. B.C. D.答案:C 解析：先从6个代表队中任选3个队有C种选法；再从中任选一个（两人都获奖）有C种选法，再从余下的两个代表队中每队选1人有CC种，所以共有CCCC种选法.5.某科技小组有四名男生两名女生，现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为A. B. C.+ D.答案:C6.三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有A.6种 B.8种 C.10种 D.16种答案:C 解析：如图，同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法.7.某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加
4、一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一个参加活动，女生丙必须参加活动，则不同的选人方式有A.56种 B.49种 C.42种 D.14种答案:B 解析：（1）男生甲、乙有一人参加，女生丙参加，再从另外7人中任选2人，共有CC=42种；（2）男生甲、乙都参加，女生丙也参加，再从另7人中任选1人，有C17=7种.综合（1）（2）得不同的选人方式有CC+C=49种.8.(2007广东珠海模拟)用四种不同的颜色给正方体ABCDA1B1C1D1的六个面染色，要求相邻两个面涂不同的颜色，且四种颜色均用完，则所有不同的涂色方法共有A.24种 B.96种 C.72种 D.48种答案:C 解析：从
5、四种颜色中任选一种有种选法，涂前后两面，第二步从余下的三种颜色中任选取一种有C种选法涂上面，第三步再从刚才的三种颜色中任选一种涂下面，此时还剩下左右两面，其中一面有两种涂法，另一面只有一种涂法.由分步乘法原理，得共有CCC1=72种涂法.9.8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有A. B. C. D.3答案:B 解析：第一步从8个人中选3个人，共有C种方法，第二步3个人交换位置，由于每个人都要交换位置，故只有两种交换方法，所以共有CA种交换方法.10.(2007山东威海模拟)已知()6的展开式中，不含x的项是，那么正数p的值是A.1 B.2
6、 C.3 D.4答案:C 解析：由题意知：C22=,求得p=3.11.一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有A.6种 B.8种 C.36种 D.48种答案:D 解析：走到中心位置时，从6条路线中选1条有C16种选法.回到中心位置后，再从剩余的4条路线中选1条有种选法，再回到中心位置后，再从剩余的2条路线中选1条有C种选法，故共有CCC48种.12.(2007广东广州模拟)（)5的展开式中系数大于-1的项共有A.5项 B.4项 C.3项 D.2项答案:B 解析：(2x-)5的展开式共有6项，其中第一、三、五项的系数为正，而第二项的系数为C24（-）-1，
7、第四项的系数为C22（-）3-1.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.如右图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为_（用数字作答）.解析：由题意得CCA=240种.答案：240种14.（1-2x)6展开式中所有项的系数之和为_；（1+x3)(1-2x)6展开式中x5的系数为_.解析：令x=1，得(1-2x)6展开式中所有项的系数和为（1-2)6=1;(1+x3)(1-2x)6展开式中x5的系数为：C(-2)5+C(-2)2=-192+60=-132.答案：1
8、-13215.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，其中恰好有一个红球和一个黑球编号相同的取法种数为_.解析：任取一个红球，有种取法，接着取与红球编号相同的一个黑球；再在剩下的8个球中取编号互不相同的两球，种数为CC+CC.所以满足题意的取法种数为C（CC+CC）=120.答案：120种16.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_个.解析：个位数有A种取法；千位数有A种取法；中间两位有A种排法，故由乘法原理得AAA=192.答案：192三、解答题（本大题共4小题，共36分）17.（本小题满分8分）有11名外语翻译人员，其
9、中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出多少张？答案：分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.解：按“多面手”的参与情况分成三类：第一类：多面手不参加，这时有种；第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英或日文翻译两种可能，因此有CCC+CCC种；第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有C+CC+CCC34种.综上分析，共可开出CC+CCC+CCC
10、+CCC+CCC+CCCC=185种不同的分配名单.18.(2007海南三亚一模)（本小题满分9分）有6本不同的书：（1）全部借给5人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？（2）全部借给3人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？答案：分析：（1）利用“捆绑法”求解；（2）先分堆再让三人取书.解：（1）将6本书中某两本书合在一起组成5份，借给5个人，共有C26A55=1 800种借法.（2）将6本书分成三份有3种分法.第一种是一人4本，一人1本，一人1本；第二种是一人3本，一人2本，一人1本；第三种是每人各2本；然后再将分好的三份借给3个人，有（+CC+）A=540种借法.19.（本小题满分9分
11、）求（)10的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项.答案：分析：在所有项的系数绝对值中，最大的一个必须满足“比它相邻的项都不小”这一必要条件，据此排列不等式组.而在讨论系数最大的项时，只需讨论奇数项即可.解：展开式的通项是Tr+1=C(-1)r2-rx.系数的绝对值是C2-r，若它最大，则rN,r=3.系数绝对值最大的项是第4项，即-C23x=-15x.系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为C=1，C2-2=，C2-4=，2 -6=，2-8=.因此系数最大的项是第5项，即.提示：由于这个二项式的第二项分母中有数字2，所以展开式中的系数不是二项
12、式系数，因此不能死背书上结论，以为中间项系数最大.20.（本小题满分10分）已知i,m,n是正整数，且1imn.(1)证明：ni(1+n)m.答案：分析：对于（1）利用排列数公式和真分数的性质证明；对于（2）联想二项式定理，结合组合数与排列数的关系证明.证明：（1）对于1im，有=m(m-i+1),同理,由于m,所以，即nini(1imni(1im.又m0=n0=1,m=n=mn,mi0(m，即（1+m)n(1+n)m.提示：本例是2001年全国高考题，是道难题，也是道难得的好题.综合性强、解法灵活是其显著的特点.命题者意图是借（1）证（2），但我们却能找到好多不用（1）的证法.如数学归纳法，n元均值不等式法等.