1、解三角形的实际应用举例距离问题15分钟30分)1.(2020大庆高一检测)一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N处,则该船航行的速度是()A. 海里/时B.34 海里/时C. 海里/时 D.34 海里/时【解析】选A.由题意知MPN=75+45=120,PNM=45,在PMN中,由正弦定理,得=,所以MN=34,又由M到N所用时间为14-10=4(小时),所以船的航行速度v=(海里/时)2.(2020成都高一检测)随着“一带一路”倡议的实施,交通运输发展的外部环境和内在要求面临深层次的调整和变化.内河水运作为现代综合交
2、通运输体系的重要组成部分,迎来了新的历史机遇.为做好航道升级的前期工作,成都市组织相关人员到府河现场进行勘察.现要测量府河岸边A,B两地间的距离.如图,在B的正东方向选取一点C,测得CB=2 km,A位于C西北方向,A位于B北偏东15,则A,B两地间的距离为()A. kmB.2 kmC. kmD.2 km【解析】选C.在ABC中,依题意知ABC=90-15=75,ACB=45,那么A=180-ABC-ACB=60,由正弦定理得=,又因为CB=2 km,所以AB= km.3.某人从A处出发,沿北偏东60行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地的距离为.【解析】如图所示,由
3、题意可知AB=3,BC=2,ABC=150,由余弦定理得AC2=27+4-232cos 150=49,所以AC=7,所以A,C两地的距离为7 km.答案:7 km4.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135爬行回它的出发点,那么x=cm.【解析】如图所示,设蜘蛛原来在O点,先爬行到A点,再爬行到B点,易知在AOB中,AB=10 cm,OAB=75,ABO=45,则AOB=60,由正弦定理知:x=(cm).答案:5.海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75,距离为12n mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30,距离为
4、8n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120.求:(1)A处与D处的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.【解析】由题意,画出示意图,如图所示.(1)在ABD中,由已知ADB=60,则B=45.由正弦定理,得AD=24(n mile)(2)在ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30=242+(8)2-2248=(8)2,所以CD=8(n mile).答:A处与D处之间距离为24n mile,灯塔C与D处之间的距离为8n mile.【补偿训练】如图所示,若小河两岸平行,为了知道河对岸两棵树C,D(CD与河岸平行)之间的距离,选取岸边两点A,B(
5、AB与河岸平行),测得数据:AB=6m,ABD=60,DBC=90,DAB=75.试求C,D间的距离.【解析】ABC=ABD+DBC=60+90=150,所以C=180-150=30,ADB=180-75-60=45.在ABD中,由正弦定理得AD=3.由余弦定理得BD=3+3.在RtBDC中,CD=6+6,即CD的长为(6+6) m. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30 mB. mC.15 mD.45 m【解析】选B.在ABC中,AC=15 m,AB
6、=5 m,BC=10 m,由余弦定理得cos ACB=-,所以sin ACB=.又ACB+ACD=180,所以sin ACD=sin ACB=.在RtACD中,AD=ACsin ACD=15= (m).2.甲船在岛B的正南A处,AB=10 km,甲船以4 km/h的速度从A出发向正北航行,同时乙船自岛B出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们的航行时间是()A. min B. h C.21.5 min D.2.15 h【解析】选A.由题意可作出如图所示的示意图,设两船航行t小时后,甲船位于C点,乙船位于D点,如图.则BC=10-4t,BD=6t,CBD=12
7、0,根据余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos CBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2-20t+100,所以当t=时,CD2取得最小值,即两船间的距离最近,所以它们的航行时间是 min.3.一艘海警船从港口A出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航行,30分钟后到达B处,这时候接到从C处发出的求救信号,已知C在B的北偏东65,港口A的东偏南20处,那么B,C两点的距离是()A.10海里B.10海里C.20海里D.15海里【解析】选A.如图,由已知可得,BAC=30,ABC=105,AB=20,从而ACB=45.在ABC中由正弦定理可得BC=sin
8、 30=10(海里).4.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的时间为()A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时【解析】选B.设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米,AP=x千米,在ABP中,PB2=AP2+AB2-2APABcos A,即302=x2+402-2x40cos 45,化简得x2-40x+700=0,设该方程的两根为x1,x2,则|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,|x1-x2|=20,即图中的PP=20(千米),故时间t=1(小时).5.(202
9、0葫芦岛高一检测)自古以来,人们对于崇山峻岭都心存敬畏,同时感慨大自然的鬼斧神工,一代诗圣杜甫曾赋诗望岳:“岱宗夫如何?齐鲁青未了.造化钟神秀,阴阳割昏晓.荡胸生曾云,决眦入归鸟.会当凌绝顶,一览众山小.”然而,随着技术手段的发展,山高路远便不再是人们出行的阻碍,伟大领袖毛主席曾作词:“一桥飞架南北,天堑变通途”.在科技腾飞的当下,路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行,如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将从A到D修建一条隧道,测量员测得一些数据如图所示(A,B,C,D在同一水平面内),则A,D间的距离为()A. kmB. kmC. kmD. km【解析】选A.如图所示,连接BD,在
10、BCD中,因为BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD=25+9-253=49,所以BD=7,又因为=,即=,解得:sinDBC=,因为ABD=ABC-DBC,所以cosABD=cos(90-DBC)=sinDBC=,在ABD中,AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD=16+49-247=65-12,即A,D间的距离为km.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020汕头高一检测)如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向,则海轮的速度为海里/分.【
11、解析】由已知得 ACB=45,BAC=75,所以B=60由正弦定理可得=,所以AC=10,所以海轮的速度为=(海里/分).答案:7.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,A,B,C,D四点共圆,则AC的长为km.【解析】因为A,B,C,D四点共圆,所以D+B=.在ABC和ADC中,由余弦定理可得82+52-285cos(-D)=32+52-235cos D,整理得cos D=-,代入得AC2=32+52-235=49,故AC=7.答案:78.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏
12、东45,与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北(01.在OCD中,由题意易得COD=30,OD=20x,CD=60(x-2).由余弦定理,得CD2=OD2+OC2-2ODOCcos COD,所以602(x-2)2=(20x)2+(60)2-220x60cos 30.解得x=3或x=,因为x1,所以x=3.所以快艇驶离港口B后,至少要经过3小时才能和考察船相遇.【补偿训练】如图所示,海中小岛A周围38 n mile内有暗礁,一船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30,航行30 n mile后,在C处测得小岛A在船的南偏东45,如果此船不
13、改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?【解析】在ABC中,BC=30,B=30,ACB=135,所以BAC=15,由正弦定理,得=即:=,所以AC=60cos 15=60cos(45-30)=60(cos 45cos 30+sin 45sin 30)=15(+),所以A到BC的距离为d=ACsin 45=15(+1),40.98 n mile38 n mile,所以继续向南航行,没有触礁危险.如图是曲柄连杆机构的示意图.当曲柄CB绕C点旋转时,通过连杆AB的传递,活塞作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A0处.设连杆AB长为60 cm,曲柄CB长为60 cm,曲柄自CB0的位置绕点C按顺时针方向旋转60,求活塞移动的距离.【解析】在ABC中,由正弦定理可得sin A=,因为BCAB,所以A为锐角,所以A=30,B=90,所以AC=120(cm),所以A0A=A0C-AC=(AB+BC)-AC=60-60(cm).答:活塞移动的距离为(60-60)cm.