1、学习目标1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题知识点一幂函数的概念思考y，yx，yx2三个函数有什么共同特征？答案底数为x，指数为常数梳理如果一个函数底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数知识点二幂函数的图像与性质思考如图在同一坐标系内作出函数(1)yx；(2)；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图像填写下表：yxyx2yx3yx1定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0单调性增在0，)上增加，在(，0上减少增增在(0，)上减少，在(，0)上减少
2、梳理根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图像都过点(1,1)；(2)0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图像下凸；当01时，幂函数的图像上凸；(3)1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列类型一幂函数的概念例1已知y(m22m2)2n3是幂函数，求m，n的值解由题意得解得所以m3或1，n.反思与感悟只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数如：y3x2，y(2x)3，y4都不是幂函数跟踪训练1在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数
3、的个数为()A0B1C2D3答案B解析因为yx2，所以是幂函数；y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；yx2x是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常函数y1的图像比幂函数yx0的图像多了一个点(0,1), 所以常函数y1不是幂函数类型二幂函数的图像及应用例2若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点(2，)在幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)1或xg(x)；(2)当x1或x1时，f(x)g(x)；(3)当1x1且x0时，f(x)g(x)反思与感悟幂函数由于指数的不同，它们的定义域也不同，性质也不同，幂函数的
4、图像主要分01和0三种情况讨论跟踪训练2幂函数yx(0)，当取不同的正数时，在区间0,1上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图)设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yx，yx的图像三等分，即有BMMNNA.那么等于()A1B2C3D无法确定答案A解析由条件知，M(，)、N(，)，()，()，()()()，1.故选A.类型三幂函数性质例3探讨函数f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)任取x1，x2(0，)，且x1x10，所以x1x20，于是f(x2)f(x1)0，即f(x2)25，即(2)若(a1)(32a)，则a的取值范围是_答案(，)解析由(1)知f(x
5、)x在区间(0，)内是减函数所以(a1)(32a)等价于解得a.所以a的取值范围是(，)反思与感悟应用幂函数性质比大小解不等式，首先是根据研究目标的特征构造幂函数，其次是根据所构造的幂函数性质如定义域、单调性来解决问题跟踪训练4(1)比较，的大小解在R上为增函数，且9f(a1)解，m2m2，解得m1或m2(舍去)，f(x)，由(1)知f(x)在定义域0，)上为增函数，f(2a)f(a1)等价于2aa10，解得1a0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；1，在第一象限图像下凸故选B.2已知f(x)，若0ab1，则下列各式中正确的是()Af(a)f
6、(b)f()f()Bf()f()f(b)f(a)Cf(a)f(b)f()f()Df()f(a)f()f(b)答案C解析因为函数f(x)在(0，)上是增函数，又0abcbBabcCcabDbca答案A解析根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，yx在x0时是增函数，所以ac，y()x在x0时是减函数，所以cb.5已知幂函数f(x)(n22n2)x (nZ)在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2D1或3答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，当n3时，f(x)x18在(0，)是增加的，不合题意，故选B.6如图是幂函数yxm和yxn在第一象限内的图像，则()
7、A1n0,0m1Bn1,0m1C1n1Dn1答案B解析由题图知，yxm在0，)上是增函数，yxn在(0，)上为减函数，所以m0，n1时，yxm的图像在yx的下方，yxn的图像在yx1的下方，所以m1，n1，从而0m1，n”或“解析yx1在(0，)上是减函数，又5.255.261.8函数f(x)(x3)2的增区间是_答案(，3)解析yx2的增区间为(，0)，y(x3)2是由yx2向左平移3个单位得到的y(x3)2的单调增区间为(，3)9已知幂函数f(x)xm21(mZ)的图像与x轴，y轴都无交点，则函数f(x)的解析式是_答案f(x)x1解析函数的图像与x轴，y轴都无交点，m210，解得1m2.
8、5，(2)3，()()，从而()()，811,03.811，(1.9)3.8(1.9).12已知幂函数f(x)x3m5(mN)在(0，)上是减函数，且f(x)f(x)，求m的值解因为f(x)x3m5(mN)在(0，)上是减函数，所以3m50，故m.又因为mN，所以m0或m1，当m0时，f(x)x5，f(x)f(x)，不符合题意；当m1时，f(x)x2，f(x)f(x)，符合题意综上知，m1.13已知函数f(x)(mR)，试比较f(5)与f()的大小解f(x)mm(x1)2.f(x)的图像可由yx2的图像首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m0)(或向下(m5，f()f(
9、2)f(5)四、探究与拓展14已知实数a，b满足等式ab，下列五个关系式：0ba1；1ab0；1ab；1ba0；ab.其中可能成立的式子有_(填上所有可能成立式子的序号)答案解析首先画出y1x与y2x的图像(如图)，已知abm，作直线ym.若m0或1，则ab；若0m1，则0ba1，则1a0，解得k3.kZ，k1或k2.当k1时，(2k1)(3k)2，满足函数f(x)为偶函数，当k2时，(2k1)(3k)3，不满足函数f(x)为偶函数，k1，且f(x)x2.(2)f(x)x2，g(x)f(x)mxx2mx，函数g(x)的对称轴为直线x.要使函数g(x)当x1,1时是单调函数，则1或1，解得m2或m2，故m的取值范围是(，22，)
