1、温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层作业 十三双曲线的简单几何性质 (60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.设F1和F2为双曲线-=1(a0,b0)的两个焦点, 若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.3【解析】选B.由tan=,得3c2=4b2=4(c2-a2),所以e=2.2.双曲线-=1与-=(0)有相同的()A.实轴B.焦点C.渐近线D.以上都不是【解析】选C.由题可知,-=1的渐近线为y=x.-=的渐近线为y=x,所以它们有
2、相同的渐近线.3.设双曲线-=1(a0,b0)的渐近线与圆(x-)2+y2=4相切,则该双曲线的离心率等于()A.B.2C.D.【解析】选C.因为双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,又因为圆心为(,0),半径为2,所以=2,所以=2.所以双曲线的离心率为e=.【补偿训练】以椭圆+=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为()A.-=1B.-=1C.-=1或-=1D.以上都不对【解析】选C.当顶点为(4,0)时,a=4,c=8,b=4,双曲线方程为-=1;当顶点为(0,3)时,a=3,c=6,b=3,双曲线方程为-=1.4.设双曲线-=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线
3、的渐近线方程为()A.y=xB.y=2xC.y=xD.y=x【解析】选C.由已知,得b=1,c=,a=.因为双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=x=x.5.(2017天津高考)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1【解析】选D.由题意 解得a2=1,b2=3,所以双曲线方程为x2-=1.6.若双曲线-=1的渐近线方程为y=x,则双曲线焦点F到渐近线的距离为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.由已知可知双曲线的焦点在y轴上,所以=.所以m=9.所
4、以双曲线的焦点为(0,),焦点F到渐近线的距离为d=3.7.已知ab0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.xy=0B.xy=0C.x2y=0D.2xy=0【解析】选A.椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以=,所以a4-b4=a4,即a4=4b4,所以a=b,所以双曲线C2的渐近线方程是y=x,即xy=0.8.(2018全国卷)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若=,则C的离心率为()A.B.2C.D.【解析】选C.设渐近线的方程为bx-a
5、y=0,则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,由可得P,由F1(-c,0)及|PF1|=|OP|,得=,化简可得3a2=c2,即e=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.双曲线-=1上一点A到点(5,0)的距离为15,则点A到点(-5,0)的距离为_.【解析】由双曲线-=1知2a=8,设F1(5,0),F2(-5,0)是两个焦点,因为点A在双曲线上,所以|AF1|-|AF2|=8,因为点A到点(5,0)的距离为15,则点A到点(-5,0)的距离是15+8=23或15-8=7.答案:7或2310.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,点AC,点M的坐标为(2,0),AM为F1A
6、F2的平分线,则|AF2| =_.【解析】因为AM为F1AF2的平分线,所以=2,又因为-=23,所以=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)11.如图,=2,=,双曲线过C,D,E三点,且以A,B为焦点,求双曲线的离心率.【解析】如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,则CDy轴.因为双曲线经过点C,D,且以A,B为焦点,由双曲线的对称性知C,D关于y轴对称,依题意,记A(-c,0),C,B(c,0),其中c为双曲线的半焦距,c=|AB|,h是梯形的高,因为=,所以点E的坐标为xE=-c,yE=h,设双曲线的方程为-=1,则离心率e=,由点C,E在双曲
7、线上,得由得=-1,代入得=9, 所以,离心率e=3.12.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程.(2)若P为这两条曲线的一个交点,求cosF1PF2的值.【解析】(1)由题知c=,设椭圆方程为+=1(ab0),双曲线方程为-=1(m0,n0),则解得a=7,m=3,则b=6,n=2.故椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10
8、,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cosF1PF2=.1.(5分)已知00,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是()A.B.C.D.【解析】选C.由题知A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,直线与两渐近线的交点为B,C,因为=,所以B,C,则有=,=,因为2=,所以4a2=b2,所以e=.3.(10分)设F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右两个焦点,过F1且与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若ABF2为正三角形,求此双曲线的渐近线方程.【解析】将x=-c代入-=1,得y2=,所以|AB|=
9、,所以|AB|=2c,即b2=2ac,将c=代入得3b4-4a4-4a2b2=0,即3-4-4=0,令=t,得3t2-4t-4=0,解得t=2或t=-(舍),所以=.所以双曲线的渐近线方程为y=x.4.(10分)已知双曲线x2-y2=a2及其上一点P.求证:(1)离心率e=,渐近线方程为y=x.(2)P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心O距离的平方.(3)过P作两渐近线的垂线,构成的矩形面积为定值.【证明】(1)易知已知双曲线为等轴双曲线,所以e=.所以渐近线方程为y=x.(2)设P(x0,y0),则-=a2,又焦点F1(-a,0),F2(a,0),所以|PF1|PF2|=|x0+a|x0-a|=|2-a2|=|+|=|PO|2.(3)设P(x0,y0),垂足分别为Q,R,则由点到直线的距离公式知|PQ|=,|PR|=,所以S矩形PQOR=|PQ|PR|=|-|=a2(定值).关闭Word文档返回原板块