1、河北省衡水中学2020届高三数学小二调考试试题 理（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对集合进行化简，然后根据集合的交集运算，得到的值.【详解】集合，集合所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.设函数满足，则的图像可能是A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图
2、像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B3.若函数在处的切线方程为，则，的值为( )A. 2,1B. -2，-1C. 3,1D. -3，-1【答案】C【解析】【分析】将代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到，利用导数的几何意义，对函数求导，代入，得到切线斜率，得的值.【详解】将代入切线，得到切点坐标为，将代入到函数解析式中，得到，所以，求导得，代入得，所以，得.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.4.已知命题：使，命题：，则命题成立是命题成立的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也
3、不必要【答案】C【解析】【分析】根据命题和命题，分别得到的范围，从而得到答案.【详解】命题：使，则，所以设，则，在上单调递增，所以，命题：，可得所以命题成立是命题成立的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查二次函数相关的复合函数的值域，判断充分必要条件，属于简单题.5.已知，则与的交点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】令，得，分和进行讨论，利用零点存在定理，得到零点个数，从而得到答案.【详解】要求与的交点，则令，设，即求的零点个数，所以，当时，解得，（舍），所以时，有且仅有一个零点；当，所以在上单调递增，而，由零点存在定理可知在上有且仅有一个零点；综上所述，有
4、且仅有两个零点，所以与的交点个数为.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的性质，函数图像交点与零点的转化，根据零点存在定理求零点的个数，属于中档题.6.已知函数，则定积分的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可【详解】因为所以 的几何意义为以为圆心，以为半径的圆，在x轴上方的部分因而 所以所以选A【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题7.已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为( )A. B. C. D.
5、【答案】A【解析】【分析】令，这样原不等式可以转化为，构造新函数，求导，并结合已知条件，可以判断出的单调性，利用单调性，从而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【详解】解:令，则，令，则，在上单调递增，故选A.【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.8.若函数为偶函数，且时，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到关于成轴对称，得到再利用导数，得到时的单调性，从而得到不等式的解集.【详解】因为函数函数为偶函数，所以可得关于成轴对称，所以，当时，所以设，则，当，单调递减，即，所以在上单调递减
6、，在上单调递增，所以不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.9.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由比较，的大小，利用中间量比较,，从而得解.【详解】，.，.又，即.故选D【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.10.已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，可得，原问题转化为直线有且只有两个整数点处的函数值大于函数的值，利用导函数研究函数的单调性得到关于a的
7、不等式组，求解不等式组即可确定a的取值范围.【详解】令，则：，设，故，由可得，在上，为减函数，在上，为增函数，的图像恒过点，在同一坐标系中作出，的图像，如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，则，即，解得：.故选D.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，直线恒过定点问题，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.设定义在上的奇函数满足：对任意的，总有，且当时，则函数在区间上的零点个数是 （ ）A. 6B. 9C. 12D. 13【答案】C【解析】因为函数为上的奇函数，所以必有f（0）=0由 ，易得： ，故函数周期为8，f（0）=f（-8）=f（8）=0当时，有
8、唯一零点.又函数为奇函数且周期为8，易得：f（）=f（- ）=f(-8)=f(+8)=f(- +8)=f(- +16)当x=-4时，由 知 ，又f（x）为奇函数，可得f(4)=0,从而可知f(4)=f（-4）=f（12）.所以共有12个零点故选C 点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.注意定义在上的奇函数，必有f（0）=0；定义在上的奇函数且周期为T，则有f（）=0.12.“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个，都有成立，若现在已知函数是定义域在的“互倒函数”，且当时，成立.若函数（）都恰有两个不
9、同的零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据是“互倒函数”，得到解析式，从而画出的图像，将问题等价于等价于有两个不等的实根，分为，几种情况讨论，设，先研究的解，再研究的解，从而得到的范围.【详解】函数是定义域在的“互倒函数”当，则，因为，且当时，所以，所以，函数都恰有两个不同的零点，等价于有两个不等的实根，作出的大致图像，如图所示，可得，.设，则当时，有两个解，其中，无解，有两个解，符合题意；当时，由得，由图可知此时有四个解，不符合题意；当时，有两个解，其中，由图可知此时有四个解，不符合题意；当时，由，得，由图可知有两个解，符合题意；当时，由，得无解
10、，不符合题意.综上所述，或符合题意，而，所以解得或.即实数的取值范围为.故选：A.【点睛】本题考查符合函数的值域，函数与方程，根据函数的零点求参数的范围，考查了逻辑思维能力和运算能力，分类讨论的思想，属于难题.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知指数函数在上为减函数；，.则使“且”为真命题的实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由指数函数的单调性和一元二次不等式有解得出命题和，然后取交集即可.【详解】解：由函数在上为减函数，故，即所以命题由，得有解，故，即所以命题因为“且”为真命题所以、都是真命题所以故答案为.【点睛】本题考查了指数函数的单调性，
11、一元二次不等式能成立问题，复合命题的真假性，属于基础题.14.数学老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在 上函数单调递减；乙：在上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线对称；丁：不是函数的最小值老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确那么，你认为_说的是错误的【答案】乙【解析】【分析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想.【详解】如果甲、乙两个同学回答正确，因为在上函数单调递增，所以丙说：在定义域R上函数的图象关于直线对称是错误的，此时是函数的最小值，所以丁的回答也是错
12、误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾，所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误，此时丙正确，则乙就是错误的.故答案为乙.【点睛】本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用.15.已知定义域为的函数，若存在唯一实数，使得，则实数的值是_.【答案】0【解析】【分析】通过导数，分别研究和的单调性和最值，得到，从而得到，得到，从而得到的值.【详解】，所以时，单调递减；时，单调递增；所以.，所以时，单调递减；时，单调递增；所以.所以，当且仅当时，等号成立.而存在唯一实数，使得，所以可得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，根据函数的最值求参数
13、的值，属于中档题.16.已知方程恰有四个不同的实数根，当函数时，实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，将方程根的个数转化为一元二次方程根的分布进行求解即可【详解】函数，由得，得或，此时为增函数，由得，得，此时为减函数，即当时，函数取得极小值，极小值为，当时，函数取得极大值，极大值为，当，且，作出函数的图象如图：设，则当时 方程有3个根，当时 方程有2个根，当或时 方程有1个根，则方程等价为，若恰有四个不同的实数根，等价为有两个不同的根，当，方程不成立，即，其中或，设，则满足，得，即，即，即实数的取值范围是，故答案为【点睛】本题主要
14、考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程根的分布，求出函数的导数研究的单调性和极值是解决本题的关键三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）对求导得到，代入，得到切线的斜率，结合切点，得到切线方程；（2）根据题意，得到，然后利用参变分离，得到，设，利用导数得到的最小值，从而得到的范围.【详解】（1）因为，所以函数，所以，即切点为所以，代入，得到，故所求的切线方程为，即.（2）对任意的，恒成立，可得，对任意的，恒成立，令得或，所
15、以时，单调递减，时，单调递增，而，所以，所以，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，设，则，设，因为，所以，所以单调递增，即单调递增，而，所以当，单调递减，当，,单调递增，所以时，取得最小值，为，所以.【点睛】本题考查根据导数的几何意义求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.18.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年产量小于7万件时，C（x）=x2+2x（万元）；当年产量不小于7万件时，C（x）=6x+1nx+
16、17（万元）已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产M当年全部售完（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收人固定成本流动成本（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e320）【答案】(1) (2) 当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元【解析】【分析】（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0x7和当x7两种情况得到P（x）与x的分段函数关系式；（2）当0x7时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x7时，利用导数求P（x）的最大值，最后综合即可【
17、详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元.依题意得，当时， 当时，.（2）当时，当时，最大值为（万元）. 当时，当时，单调递减，当时，取最大值（万元），当时，取得最大值万元，即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.【点睛】本题考查函数式的求法，考查年利润的最大值的求法，考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题19.若函数，为常数.(1)求函数的单调区间；(2)若有两个极值点分别为，不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1)时，的单调增区间为，无单调减区间； 时，的单调增区间为，单调递减
18、区间为；(2).【解析】【分析】（1）对求导，分和进行讨论，研究的正负情况，从而得到的单调区间；（2）由（1）可得，利用韦达定理，得到，从而对不等式进行化简，得到，再利用导数得到的范围，从而得到的范围.【详解】（1）的定义域为，当，所以，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，解得，所以的单调增区间为，单调递减区间为（2）因有两个极值点为，不等式恒成立，所以，且，故所以，设函数，所以单调递减，所以，所以得到，的最小值为【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调区间，利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.20.若定义在上的函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若，满
19、足，则称比更接近.当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由.【答案】（1）当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；（2）比更接近，理由见解析.【解析】【分析】（1）对求导，分和进行讨论，研究的正负情况，从而得到的单调区间；（2）设，利用导数研究出和在的单调性和正负情况，分和进行讨论，得到和的大小关系，从而得到答案.【详解】（1）函数，求导得到，当时，函数在上单调递增；当时，由，得到，所以时，单调递减，时，单调递增，综上所述，当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；（2）设，所以，所以在时单调递减，又因为所以当时，当时，.而，设，则，所以在上单调递增
20、，即在上单调递增，而，所以时，所以在时单调递增，且，所以.当时，设，则所以在单调递减，.又因为，所以，所以所以比更接近.当时， ，设，则，设，所以在上单调递减，即在上单调递减，所以所以在上单调递减，所以，即，所以比更接近.综上所述，当且时，比更接近.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调区间，利用导数研究函数的单调性和最值，构造函数解决不等式问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题.21.已知函数，.（1）若，求实数取值的集合；（2）证明：【答案】（1）.（2）见证明【解析】【分析】（1）,讨论当和时函数单调性求最小值即可求解；（2）由（1），可知当时，即在恒成立. 要证，只需证当时，.构造，证
21、明即可【详解】（1）由已知，有. 当时，与条件矛盾；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增. 在上有最小值 由题意，.令.当时，单调递增；当时，单调递减.在上有最大值. ，综上，当时，实数取值的集合为. （2）由（1），可知当时，即在恒成立.要证，只需证当时，.令.则.令则.由，得. 当时，单调递减；当时，单调递增.即在上单调递减，在上单调递增.而，使得. 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增. 又，对，恒成立，即.综上所述，成立.【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式，转化化归思想，分类讨论，合理利用（1）的结论证明（2）是关键，是中档题22.已知函数（）.（1）若
22、，证明：当时，；（2）若对于任意的且，都有，求的取值集合.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）将问题转化为当时，利用导数得到的单调性和最值，进行证明；（2）通过函数端值得到，将问题等价于当时，对进行分类，通过导数得到的单调性，从而得到符合要求的.详解】（1）当时，要证当时，即证当时，令，当时，在内单调递减当时，在内单调递增，故.证毕.(2)先分析端值，当时，要使，需有，即；当时，要使，需有；故必须有.由知其分子恒正，令，于是问题等价于当时，；当时，.注意到.当时，此时当时，在单调递减，于是，这不符合题意；当时，得，.（i）当时，在单调递增，结合可知符合题意；（ii）当时，此时当时，于是在在单调递减，故在内，这不符合题意；（iii）当时，此时当时，于是在在单调递减，故在内，这不符合题意；综上：符合题意的取值集合为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.
