1、第9章 第1节一、选择题1(2011聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是()A所有的直线都有倾斜角和斜率B所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C直线的倾斜角和斜率有时都不存在D所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角答案B解析所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90的直线不存在斜率2已知直线的方程分别为l1：xayb0，l2：xcyd0，它们在坐标系中的关系如图所示，则()Ab0，d0，a0，dcCb0，ac Db0，a0，0，从而ca0，b0.3若直线2axby40(a、bR)始终平分圆x2y22x4y10的周长，则ab的取值范围是()A(，1 B(0,1C(0,1) D(，1)答
2、案A解析由题意知直线过圆心(1，2)，2a2b40，ab2，ab，ab1.4已知直线l1yx，l2axy0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0，)内变动时，a的取值范围是()A(，1)(1，) B(，)C(，1) D(1，)答案A解析因为k11，k2a，由数形结合知，直线l2的倾斜角(，)(，)，所以直线l2的斜率a(，1)(1，)5过点P(1,2)且方向向量为a(1,2)的直线方程为()A2xy0 Bx2y50Cx2y0 Dx2y50答案A解析因为方向向量a(1,2)，所以直线的斜率k2，又过点P(1,2)，所以由点斜式求得直线方程为2xy0.6(2011山东济宁)已知点A(1,3)，B
3、(2，1)，若直线lyk(x2)1与线段AB相交，则k的取值范围()Ak Bk2Ck或k2 D2k答案D解析如图，l过P(2,1)，kPAkkPB，kPA2，而kPB，2k.7过抛物线y24x的焦点，且与圆x2y22y0相切的直线方程是()A.xy30，y0B.xy30，y0C.xy30，xy30D.x3y30，x3y30答案A解析抛物线焦点F(，0)，圆的方程x2(y1)21，由图知过焦点F且与圆相切的直线有两条，其中一条是y0故排除C、D.另一条斜率小于0，故选A.8已知f(x)log2(x1)，且abc0，则，的大小关系是()A. B.C. D.答案B解析作函数f(x)log2(x1)的
4、图像，易知表示直线的斜率，故选B.二、填空题9一条直线l过点P(1,4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则AOB的面积最小时直线l的方程为_答案4xy80解析设l：1(a，b0)因为点P(1,4)在l上，所以1.由12ab16，所以SAOBab8.当，即a2，b8时取等号故直线l的方程为4xy80.10(2009江西理)设直线系M：xcos(y2)sin1(02)，对于下列四个命题：AM中所有直线均经过一个定点B存在定点P不在M中的任一条直线上C对于任意整数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是_(写出所有
5、真命题的代号)答案BC解析考查直线系方程及直线恒过定点问题因为xcos(y2)sin1，所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d1.即M为圆C：x2(y2)21的全体切线组成的集合，从而M中存在两条平行直线，所以A错误又因为点(0,2)不在任何直线上，所以B正确对任意n3，存在正n边形使其内切圆为圆C，故C正确M中的直线能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误，故命题中正确的序号是B，C.11已知aR，直线(1a)x(a1)y4(a1)0过定点P，点Q在曲线x2xy10上，则PQ连线斜率的取值范围是_答案3，)解析P(0,4)，设Q(x，y)，则y(x0)，k241233.三、解答
6、题12过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l12xy20与l2xy30之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程分析设点A(x，y)在l1上，则点A关于点P的对称点B(6x，y)在l2上，代入l2的方程，联立求得交点，从而求得直线方程解析方法一设点A(x，y)在l1上，由题意知，点B(6x，y)，解方程组得，k8.所求的直线方程为y8(x3)，即8xy240.方法二设所求的直线方程yk(x3)，则，解得由，解得P(3,0)是线段AB的中点，yAyB0，即0，k28k0，解得k0或k8.又当k0时，xA1，xB3，此时3，k0舍去，所求的直线方程为y8(x3)，即8xy240.方法三设点A(
7、x1，y1)在l1上，点B(x2，y2)在l2上，则，解得或kkAB8，所求的直线方程为8xy240.13已知i(1,0)，j(0,1)，经过原点O以uimj为方向向量的直线与经过定点A(0,1)，以vmij为方向向量的直线相交于点P，其中mR，当点P变动时，试问是否存在一个定点Q，使得|PQ|为定值？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由解析uimj(1,0)m(0,1)(1，m)，vmijm(1,0)(0,1)(m，1)，设P(x，y)，则(x，y)，(x，y1)u，v，mxy0，m(y1)x0，消去m得x22，即，故存在一点Q，使得|PQ|为定值.14已知抛物线y24x的焦点为F，过F
8、作两条相互垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N.求证：直线MN必过一定点解析由题设知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为零，设lAByk(x1)(k0)，代入y24x，得k2x22(k22)xk20，得xM，又yMk(xM1)，故M(，)因为CDAB，所以kCD，同理可得N(2k21，2k)所以直线MN的方程为(2k21)(y2k)(2k)(x2k21)，整理得yk2(x3)ky0，因为该方程对任意的k(k0)恒成立，故解得x3，y0.故直线MN恒过定点(3,0)点评有些题目在解答时要引入参数，参数的个数可以是一个，也可以是多个，基本的原则是在便于解答问题的前提下，参数的个数
9、越少越好15有一个附近有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系分析本题是一个实际应用问题，综合性较强，通过分析题意可知是一个分段函数问题，每一段都是一次函数，即直线的方程因此，由直线的点斜式方程即可求出解析当0x10时，直线段过点O(0,0)，A(10，20)，所以kOA2，可得点斜式方程为y2x.当10x40时，直线段过点A(10,20)，B(40,30)，所以kAB，可得点斜式方程为y20(x10)，即yx.当0x40时，由物理知识可知，直线的斜率就是相应注水或放水的速度设注水的速度为V1，放水的速度为V2，在第段中，是只注水，所以V12，在第段中，是既注水又放水的“合成”，所以此时的速度为V1V2，所以V2.所以当x40时，k，又过点B(40,30)，可得点斜式方程为y30(x40)，即yx.若y0，x58，此时到C(58,0)为止综上所述，y