1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第三节 二项式定理 上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题上一页返回首页下一页高三一轮总复习1二项式定理(1)二项式定理：(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn(nN*)；(2)二项式通项：Tr1Crnanrbr，它表示第 r1 项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 Crn(r0,1,2，n)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2二项式系数的性质性质性质描述 对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即 Ckn
2、Cnkn 当 kn12(nN*)时，是的 当 n 为偶数时，中间的一项 Cn2n 取得最大值 二项式系数最大值当 n 为奇数时，中间的两项 Cn12n 与 Cn+12n 取最大值递增递减上一页返回首页下一页高三一轮总复习3.各二项式系数和(1)(ab)n 展开式的各二项式系数和：C0nC1nC2nCnn2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n1.上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)Cknankbk是(ab)n 的展开式中的第 k 项()(2)二项展开式中，系数最大
3、的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关()(4)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则 a7a6a1 的值为128.()上一页返回首页下一页高三一轮总复习解析(1)错误应为第 k1 项(2)错误当 n 为偶数时，为中间一项；n 为奇数时，为中间的两项(3)正确二项式系数只与 n 和项数有关(4)错误令 x1，可得 a7a6a1a027128.答案(1)(2)(3)(4)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2(教材改编)二项式(x1)n(nN*)的展开式中 x2 的系数为 15，则 n()A7 B6 C5 D4B(x1)n(1x)n1C1n
4、C2nx2Cnnxn.依题意，得 C2n15，解得 n6(n5 舍去)上一页返回首页下一页高三一轮总复习3在x2 13 xn的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A7B7 C28D28上一页返回首页下一页高三一轮总复习B 由题意知n215，解得 n8，x2 13 x8的展开式的通项 Tk1Ck8x28k 13 xk(1)k2k8Ck8x843k.令 84k3 0 得 k6，则展开式中的常数项为(1)6268C687.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4(2016北京高考)在(12x)6 的展开式中，x2 的系数为_(用数字作答)60 依二项式定理，含 x2 的项为展
5、开式的第 3 项 展开式中 T3C26(2x)260 x2，则 x2 的系数为 60.上一页返回首页下一页高三一轮总复习5(2017济南模拟)已知(1ax)(1x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a_.1(1x)51C15xC25x2C35x3C45x4C55x5.(1ax)(1x)5 的展开式中 x2 的项为(C25C15a)x2，依题意得 105a5，解得 a1.上一页返回首页下一页高三一轮总复习通项公式及其应用 (1)(2015全国卷)(x2xy)5 的展开式中，x5y2 的系数为()A10 B20 C30 D60(2)(2016山东高考)若ax2 1x5 的展开式中 x5 的系
6、数是80，则实数 a_.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)C(2)2(1)法一：(x2xy)5(x2x)y5，含 y2 的项为 T3C25(x2x)3y2.其中(x2x)3 中含 x5 的项为 C13x4xC13x5.所以 x5y2 的系数为 C25C1330.故选 C.法二：(x2xy)5 为 5 个 x2xy 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系数为 C25C23C1130.故选 C.(2)Tr1Cr5(ax2)5r1xrCr5a5rx1052r.令 1052r5，解得 r2.又展开式中 x5 的系数为80，则有 C25a380，解得 a2.上
7、一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项 2求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1(1)(2017东北四校联考)若x6 1x xn的展开式中含有常数项，则正整数 n 的最小值等于()A3B4 C5D6(2)(2016全国卷)(2x x)5
8、 的展开式中，x3 的系数是_(用数字填写答案)上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)C(2)10(1)二项展开式的通项 Tr1Crn(x6)nr1x xrCrnx6n15r2，若 Tr1 是常数项，则 6n15r2 0，即 n54r.又 nN*，故 n 的最小值为 5.(2)(2x x)5 展开式的通项为 Tr1Cr5(2x)5r(x)r25rCr5x5r2.令 5r23，得 r4.故 x3 的系数为 254C452C4510.上一页返回首页下一页高三一轮总复习二项式系数与各项系数和 (1)(2017武汉调研)已知(1x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项
9、式系数和为()【导学号：57962456】A212 B211 C210 D29(2)(2017福州质检)若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a1a2a3a4_.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)D(2)0(1)(1x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，C3nC7n，解得 n10.从而 C010C110C210C1010210，奇数项的二项式系数和为 C010C210C101029.(2)令 x1，得 a0a1a2a3a4(12)41.又令 x0，得 a0(10)41.因此 a1a2a3a40.上一页返回首页下一页高三一轮总复习迁移探究 1 若本例(2
10、)中条件不变，问题变为“求 a0a2a4 的值”，则结果如何？上一页返回首页下一页高三一轮总复习解 在(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4 中，令 x1，得 a0a1a2a3a41.4 分 令 x1，得 a0a1a2a3a434.8 分 由，可得 a0a2a412(341)41.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习迁移探究 2 若将本例(2)变为“若(12x)2 016a0a1xa2x2a2 016x2 016(xR)，则a12 a222a2 01622 016的值为_”上一页返回首页下一页高三一轮总复习1 令 x0，得 a0(10)2 0161.令 x12，则 a0a12 a
11、222a2 01622 0160，a12 a222a2 01622 0161.上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.第(1)小题求解的关键在于求 n，本题常因把“n 的等量关系表示为 C4nC8n”，错求 n12；第(2)小题主要是“赋值”求出 a0 与各项系数的和 2求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为 1，1.上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2(2015全国卷)(ax)(1x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_.上
12、一页返回首页下一页高三一轮总复习3 设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令 x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5.，得 16(a1)2(a1a3a5)232，a3.上一页返回首页下一页高三一轮总复习二项式定理的应用 (1)(2017豫东名校模拟)设复数 x 2i1i(i 是虚数单位)，则 C12 017xC22 017x2C32 017x3C2 0172 017x2 017()AiBi C1iD1i(2)设 aZ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a()A0B1 C11D12上一页返回首页下一
13、页高三一轮总复习(1)C(2)D(1)x 2i1i1i，C12 017xC22 017x2C32 017x3C2 0172 017x2 017(1x)2 0171i2 01711i.(2)512 012a(521)2 012a C02 012522 012C12 012522 011C2 0112 01252(1)2 011 C2 0122 012(1)2 012a，C02 012522 012C12 012522 011C2 0112 01252(1)2 011 能被 13 整除 上一页返回首页下一页高三一轮总复习且 512 012a 能被 13 整除，C2 0122 012(1)2 012
14、a1a 也能被 13 整除 因此 a 可取值 12.上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图像点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，体现数形结合和方程思想的应用 2第(2)题求解的关键在于将 512 012 变形为(521)2 012，使得展开式中的每一项与除数 13 建立联系 3运用二项式定理要注意两点：余数的范围，acrb，其中余数 b0，r)，r 是除数；二项式定理的逆用上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3 设 a0，n 是大于 1 的自然数，1xan的展开式为 a0a1xa2x2an
15、xn.若点 Ai(i，ai)(i0,1,2)的位置如图 10-3-1 所示，则 a_.图 10-3-1上一页返回首页下一页高三一轮总复习3 由题意知 A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)故 a01，a13，a24.又1xan的通项公式 Tr1Crnxar(r0,1,2，n)故C1na 3，C2na24，解得 a3.上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1二项式定理(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn(nN*)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项 Tr1Crnanrbr 是展开式的第 r1 项，不是第 r 项 2通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项
16、或指定项的系数等(常用待定系数法)3展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法(2)可证明整除问题(或求余数)(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范1二项式的通项易误认为是第 k 项，实质上是第 k1 项 2(ab)n 与(ba)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒 3易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 Ckn(k0,1，n)上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（六十）点击图标进入