1、6.3.5平面向量数量积的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算(重点)2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示(易混点)4.能用向量方法证明两角差的余弦公式(重点)1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养.2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，给我希望”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀
2、”坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究问题：在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a(3,2)，b(2,1)，则ab的值为多少？ab的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab为多少？1平面向量数量积的坐标表示已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2两个公式、一个充要条件(1)向量的模长公式：若a(x，y)，则|a|.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x
3、1，y1)，(x2，y2)，那么a(x2x1，y2y1)，|a|.(2)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则cos .(3)两个向量垂直的充要条件a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.思考：已知向量a(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？提示设与a共线的单位向量为a0，则a0a，其中正号、负号分别表示与a同向和反向易知b(y，x)和a(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为，其中正、负号表示不同的方向1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)若a(x1，y1)
4、，b(x2，y2)，(1)abx1x2y1y20.()(2)ab0a与b的夹角为钝角()(3)若ab0，则a与b不垂直()(4)|表示A，B两点之间的距离()答案(1)(2)(3)(4)2(一题两空)已知a(2，1)，b(2,3)，则ab_，|ab|_.12ab22(1)31，ab(4,2)，|ab|2.3已知向量a(1,3)，b(2，m)，若ab，则m_.因为ab，所以ab1(2)3m0，解得m.4已知a(3,4)，b(5,12)，则a与b夹角的余弦值为_因为ab3541263，|a|5，|b|13，所以a与b夹角的余弦值为.平面向量数量积的坐标运算【例1】(1)如图，在矩形ABCD中，AB
5、，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_(2)已知a与b同向，b(1,2)，ab10.求a的坐标；若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.思路探究(1)求数量积(2) 先由ab设a坐标，再由ab10求.依据运算顺序和数量积的坐标公式求值(1)以A为坐标原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)可设F(x,2)，因为(，0)(x,2)x，所以x1，所以(，1)(1，2).(2)解设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2,4)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)
6、数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解跟进训练1在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则()A5B4C3D2A由(1，2)(2,1)(3，1)，得(2,1)(3，1)5.向量模的坐标表示【例2】(1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|2ab|等于()A4B5 C3D4(2)若向量
7、a的始点为A(2,4)，终点为B(2,1)，求：向量a的模；与a平行的单位向量的坐标；与a垂直的单位向量的坐标思路探究综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解(1)D由ab得y40，y4，b(2，4)，2ab(4,8)，|2ab|4.故选D(2)解a(2,1)(2,4)(4，3)，|a|5.与a平行的单位向量是(4，3)，即坐标为或.设与a垂直的单位向量为e(m，n)，则ae4m3n0，.又|e|1，m2n21.解得或e或e.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aa
8、a2|a|2x2y2，于是有|a|.跟进训练2已知平面向量a(3,5)，b(2,1)(1)求a2b及其模的大小；(2)若ca(ab)b，求|c|.解(1)a2b(3,5)2(2,1)(7,3)，|a2b|.(2)ab(3,5)(2,1)3(2)511，ca(ab)b(3,5)(2,1)(1,6)，|c|.向量的夹角与垂直问题探究问题1设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？提示cos .2已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于多少？提示由已知得ab(1x,4)a(ab)，a(ab)0.a(1,2)，1x8
9、0，x9.【例3】(1)已知向量a(2,1)，b(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A(2，)BC(，2)D(2,2)(2)已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标思路探究(1)可利用a，b的夹角为锐角求解(2)设出点D的坐标，利用与共线，列方程组求解点D的坐标(1)B当a与b共线时，2k10，k，此时a，b方向相同，夹角为0，所以要使a与b的夹角为锐角，则有ab0且a，b不同向由ab2k0得k2，且k，即实数k的取值范围是，选B(2)解设点D的坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)点D在直线B
10、C上，即与共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)，x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30.由可得即D点坐标为(1,1)，(1,2)，|，综上，|，D(1,1)1将本例(1)中的条件“a(2,1)”改为“a(2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围解当a与b共线时，2k10，k，此时a与b方向相反，夹角为180，所以要使a与b的夹角为钝角，则有ab0，且a与b不反向由ab2k0得k2.由a与b不反向得k，所以k的取值范围是.2将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值解cos，即，整理得3k28k3
11、0，解得k或3.1利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模利用|a|计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式cos 求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及cos 求的值2涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助ababx1x2y1y20来解决一、知识必备1公式ab|a|b|cosab与abx1x2y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导2注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，abx1
12、x2y1y20.二、方法必备1解决与向量的模有关问题的方法(1)利用公式|a|求解，其中a(x，y)；(2)利用数量积求模；(3)利用公式a2|a|2求解；(4)利用表示向量的有向线段的起点、终点坐标和两点间的距离公式求解2解决两向量夹角问题的方法已知两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，利用公式cosa，b求两向量夹角的余弦值，进而可求夹角已知向量a，b的夹角的范围，求参数的取值范围时，可利用性质：090ab0；90180ab0.1已知向量a(2,0)，ab(3,1)，则下列结论正确的是()Aab2BabCb(ab)D|a|b|C因为向量a(2,0)，ab(3,1)，设b(x，y)，
13、则解得所以b(1，1)，ab(1，1)，b(ab)11(1)(1)0，所以b(ab)2已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()ABCDBab31(1)(2)5，|a|，|b|，设a与b的夹角为，则cos .又0，.3设a(2,4)，b(1,1)，若b(amb)，则实数m_.3amb(2m,4m)，b(amb)，(2m)1(4m)10，得m3.4设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.2法一ab(m1,3)，又|ab|2|a|2|b|2.(m1)232m215，解得m2.法二由|ab|2|a|2|b|2，得ab0，即m20，解得m2.5(一题两空)已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，则x_；(2)若ab，则|ab|_.(1)1或3(2)2或2(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上，|ab|2或2.
