1、河南省名校联盟2019-2020学年高二数学3月联考试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共扼复数为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据虚数单位的性质化简复数z，然后再求它的共轭复数.【详解】，故选A.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，侧重考查数学运算的核心素养.2.若函数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义可直接化简求得结果.【详解】.故选：.【点睛】本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题.3.“”是“复数在复平面内对应的
2、点在第一象限”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案【详解】若复数在复平面内对应的点在第一象限，则 解得，故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.故选C.【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题4.用反证法证明“至少存在一个实数，使成立”时，假设正确的是（ ）A. 至少存在两个实数，使成立B. 至多存在一个实数，使成立C. 不存在实数，使成立D. 任意实数，恒成立【答案】C【解析】【分析】根据反证法
3、的原理可直接判断得到结果.【详解】根据反证法的原理知：假设是对“至少存在一个实数”的否定，即“不存实数，使成立”.故选：.【点睛】本题考查反证法原理的应用，属于基础题.5.下列使用类比推理正确的是（ ）A. “平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B. “若，则”类比推出“若，则”C. “实数，满足运算”类比推出“平面向量满足运算”D. “正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”【答案】D【解析】【分析】根据类比结果进行判断选择.【详解】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A错；因为“若，则”，所以B错；因为，
4、所以C错；因为正方体的内切球切于各面的中心，所以正确.选D.【点睛】本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质，考查基本分析判断能力，属基础题.6.若复数为纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：由题意得到关于的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数为纯虚数，则：，即：，结合，可知：，故.本题选择B选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知函数在上不单调，则m的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导，函数不单调
5、，解得答案.【详解】.因为在上不单调，所以，故.故答案为A【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.8.有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题.【详解】若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说
6、的对不符，故甲说的不对；若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不对，符合条件，故获奖的是丁；若若甲说的不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D.【点睛】本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.9.若，则称与互为“邻位复数”.已知复数与互为“邻位复数”，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 8【答案】B【解析】【分析】根据题意点在圆，表示点到原点的距离，计算得到答案.【详解】，故，点在圆上，而表示点到原点的距离，故的最大值为.故选：.【点睛】本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组
7、成，记第个图案中正六边形的个数是.由，可推出（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数【详解】由图可知， 故选A.【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当时，11.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数；利用导数可求得在上单调递增，由奇偶性知在上单调递减，由此可将原不等式化为，解不等式求得结果.【详解】当时，为偶函数.当时，在上单调递增；又为偶函数，在上单调递减，由得：，即，
8、解得：，即的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义求得函数奇偶性、利用导数求得函数的单调性，进而将函数值的大小关系变为自变量的大小关系.12.对任意的实数，关于的方程都有两个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将方程变形为，采用换元法将问题变为与有两个不同的交点的问题；结合导数可得到的图象，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由得：，.令，则，原方程有两个不同的实根，等价于与有两个不同的交点.，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又当时，；当时，由此可得图象如下图所示：当时
9、，与有两个不同的交点，即当时，方程有两个不同的实根.故选：.【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过变形和换元，将问题转化为两函数图象交点个数问题的求解，进而通过数形结合的方式求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，()，则_【答案】1【解析】【分析】由复数加法的运算可得，再结合复数的类型求得，得解.【详解】解：由复数，()，则，则，则 即，则，故答案为：1【点睛】本题考查了由复数的类型求参数的值，重点考查了复数加法的运算，属基础题.14.函数的图象在点处的切线方程是_.【答案】【解析】【分析】首先求出在1处的导数，再求出在1处的函数
10、值，然后用点斜式求出方程即可.【详解】，且，切线方程是，即【点睛】本题考查利用导数求函数在点处的切线方程，属于基础题.15.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则_【答案】【解析】【分析】先换元令，平方可得方程，解方程即可得到结果.【详解】令，则两边平方得，得即，解得：或（舍去）本题正确结果：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16.设函
11、数是偶函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】构造函数，利用导数可求得时单调递增，结合可确定当时，即，利用偶函数的性质可确定当时，由此可得最终结果.【详解】令，.当时，当时，在上单调递增.是偶函数且，当时，则当时，又为偶函数，当时，.综上所述：当时，.故答案为：.【点睛】本题考查根据函数的单调性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，利用导数得到所构造函数的单调性，结合函数奇偶性求得原不等式的解集.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知复数z满足，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复
12、数z；（2）若，求实数m，n的值.【答案】(1) 或. (2) ，.【解析】【分析】（1）利用已知条件，设出复数z，通过及所对点所在位置求出即可复数z；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m，n的值详解】（1）设，则，因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以，所以或，所以或（2）由（1）知或，当时，；当时.因为，所以，解得，.【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）若，证明：；（2）若，证明：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边转角，即可得到本题答案；（2
13、）用反证法证明，假设，得到，与已知矛盾，故假设错误，结论正确.【详解】（1）因为，所以，则，由正弦定理得；（2）假设，则，那么，于是，即，与已知矛盾，故假设错误，所以当时，【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及利用反证法证明结论.19.已知若椭圆：（）交轴于，两点，点是椭圆上异于，的任意一点，直线，分别交轴于点，则为定值.（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题；（2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）命题为真命题，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据类比推理的基本原则可直接写出结果；（2）设，表示出直线方程后可求得点坐标，由此得到，同理得到，根据
14、平面向量的数量积运算可构造方程，结合点在双曲线上可化简得到结果.【详解】（1）类比得命题：若双曲线：交轴于两点，点是双曲线上异于的任意一点，直线分别交轴于点，则为定值.（2）在（1）中类比得到的命题为真命题，证明如下：不妨设，则，直线方程为.令，则，点坐标为.又，.同法可求得：.又，.【点睛】本题考查类比推理的应用、双曲线中定值问题的证明；关键是能够熟练应用直线与双曲线的相关知识，表示出所需的平面向量，根据平面向量数量积的坐标运算可化简得到结果.20.已知函数，数列对于，总有，.（1）求，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【
15、分析】（1）利用函数解析式可得递推关系式，依次代入可求得，由数字变化规律可猜想得到通项公式；（2）当时，可知结论成立；假设当时结论成立，则当时，由递推关系式和假设的结论整理可知结论成立，由此可知猜想成立.【详解】（1）由得：，所以，由此可猜想：.（2）用数学归纳法证明如下：当时，猜想成立；假设当时猜想成立，即，则当时，所以当时猜想也成立.由知，对，都成立.【点睛】本题考查根据递推关系式求解数列中的项、猜想通项公式、利用数学归纳法证明数列中的结论问题；证明数学归纳法时需注意一定要用到所作的假设.21.设函数.（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当
16、时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）分别在和两种情况下，根据的正负可确定的单调性；（2）根据（1）的结论可确定不合题意；当时，根据指数函数值域可知满足题意；当时，令，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得：，当时，在上单调递增；当时，令得：.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，当时，此时，不合题意；当时，恒成立，满足题意.当时，在处取最小值，且，令，解得：，此时恒成立.综上所述：的取值范围为.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参
17、数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.22.设函数，.（1）证明：.（2）若恒成立，求的取值范围；（3）证明：当时，.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）令函数，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为恒成立，令，求导求其最小值即可；（3）由（1），令，得，裂项相消求和得即可【详解】（1）证明：令函数，所以为单调递增函数，故.（2），即为，令，即恒成立，令，即，得.当，即时，在上单调递增，所以当时，在上恒成立；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以不恒成立.综上所述：的取值范围为.（3）证明：由（1）知，令，即，故有，上述各式相加可得.因为，所以.【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令,裂项求和，是中档题
