1、福建省厦门双十中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1已知，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是（ ）AB CD2已知复数，则（ ）ABCD3在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）ABCD4已知z是关于x的方程的根，且则实数（ ）ABC5D5在中，则此三角形解的情况是（ ）A一解B两解C一解或两解D无解6已知中，为所在平面内一点，且，则的值为（ ）A B C D7.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）A B C D8.称d(a，b
2、)|ab|为两个向量a，b间的“距离”若向量a，b满足：|b|1；ab；对任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，则()Aab Bb(ab) Ca(ab) D(ab)(ab)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9. 已知为空间中直线，为空间中平面，下列命题错误的是（ ）A.若,则 B.若，则C.若，则 D.若，且，则10.设向量，则（ ）ABCD与的夹角为11.已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A.复数z=3+4i的模为5； B.复数z=3+4i，则在复平面上的点在第四象限C
3、.复数是纯虚数，则m=1或m=-4 D.若，则的最大值为12.如图，在长方体中，E、F分别为棱、的中点，则下列说法中正确的有（ ）A B三棱锥的体积为C若P是棱上一点，且，则E、C、P、F四点共面D平面截该长方体所得的截面为五边形三填空题13.如图是AOB用斜二测画法画出的直观图AOB，则AOB的周长是_14.的平方根为_.15.如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则圆锥的表面积为 ;异面直线与所成角的余弦值为 16.已知四边形ABCD，AB=2,BC=4,ABC=120，则AC= ；若ADAB，CDBC，则AD= 四解答题17.（本题满分10
4、分）已知复数（其中是虚数单位，）.（1）若复数是纯虚数，求的值； （2）求的取值范围.18.如图，在四棱锥PABCD中，ADB90，CBCD，点E为棱PB的中点（1）若PBPD，求证：PCBD； （2）求证：CE平面PAD.19.(本题满分12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知asin bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围21. (本题满分12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速
5、度为在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量得，（1）问乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短（2）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内.22. (本题满分12分）（1）如图（1）正四棱锥P-ABCD，AB=PA=4 （）求此四棱锥的外接球的体积；（）M为PC上一点，求MA+MB的最小值；（2）将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图（2）中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积. 2020-2021厦
6、门双十中学高一下期中考数学参考答案1.B因为，所以与共线，所以不能作为基底，2.B，则，因此，.3.A.4.C.因为实系数一元二次方程的虚根共轭成对出现，5.A根据正弦定理有，则，这样的B只有一个，6.B7.D故该四棱锥的外接球，与以为底面，以为高的直三棱柱的外接球相同，底面底边为，高为，故底面是等腰直角三角形且，底面三角形外接圆的半径为，由棱柱高为可得，外接球半径为，外接球的体积为，8.B【解析】由于d(a，b)|ab|，因此对任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，即|atb|ab|，即(atb)2(ab)2，t22tab(2ab1)0对任意的tR都成立，因此有(2ab)24(2ab1
7、)0，即(ab1)20，得ab10，故abb2b(ab)0，故b(ab)9.ABC10.CD11.ABD12.BCDA.连接DE， ，如图所示，因为E为AB的中点，所以EB=BC=2，所以，同理，又DC=4，所以，即，又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，所以平面，即，又，即与不平行，所以CE不垂直，故A错误；B.由等体积法可得：三棱锥的体积，故B正确；C.作出P，使，取中点G，则P为中点，连接FP，CP，因为F，P分别为，中点，所以，又，且，所以，所以，所以E、C、P、F四点共面，故C正确；D.由选项C可得E、C、P、F四点共面，平面CEF即为平面CEFP，作，交于H ，如图所示：所以E、
8、H、P、C在同一平面内，即H点在平面ECP内，所以E、C、P、F、H在同一平面内，所以平面截该长方体所得的截面为五边形，故D正确.故选：BCD13.如图是AOB用斜二测画法画出的直观图AOB，则AOB的周长是_根据直观图画出原图如下图所示，根据原图和直观图的关系可知，所以,所以AOB的周长是.14.设，根据复数相等得到，解得答案.解得或，故. 15.12，延长至点，使，连接，因为是母线的中点，所以，所以为异面直线与所成的角（或补角）由题意知，又是的中点，所以，所以在中，因为，所以，所以在中，则由余弦定理得，16.17.（1），-2分-4分若复数是纯虚数，则，所以.-6分（2）由（1）得，-8分因为是开口向上的抛物线，有最小值；所以.所以|z-1|的取值范围为-10分21.解，-2分在中，由正弦定理，得，-4分设乙出发后，甲、乙距离为d，由余弦定理得，即，-6分，即，当时，即乙出发后，乙在缆车上与甲的距离最短-7分，由正弦定理，得，-9分乙从B出发时，甲已经走了，还需走710m才能到达C，-10分设乙的步行速度为，则，故，解得，故为使两位游客在C处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在范围内-12分22.（1）如图，设外接球半径为R，则（2） 如图，将三角形PBC展开到与平面PAC在同一平面，此时MA+MB在三角形PAB中：所以（3）