1、第3讲解三角形(一)选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B三角形判断62,3,4,6,8正弦定理和余弦定理1,4,5,7,10,111,7,9,10,11面积问题2,3,14,165解三角形综合问题8,9,12,13,15,1712,13,14,15巩固提高A一、选择题1.在ABC中,A=60,a=4,b=4,则B等于(C)(A)45或135(B)135(C)45 (D)30解析:由正弦定理=,即=,得sin B=,因为ab,所以AB,所以B=45.故选C.2.在ABC中,A=,AB=2,其面积等于,则BC等于(C)(A)3(B)7(C)(D)解析:因为A=,AB=2,面积S=ABACsin
2、 A=2AC,所以AC=1,所以BC=.故选C.3.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则ABC的面积为(C)(A)(B)1(C)(D)2解析:由题意可得cos A=,则sin A=,SABC=bcsin A=.故选C.4.在ABC中,已知A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60,则sin A等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=9+64-24=49,b=7,由正弦定理=,得sin A=sin B=.故选A.5.(2018全国卷)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则
3、AB等于(A)(A)4(B)(C)(D)2解析:因为cos =,所以cos C=2cos2 -1=2()2-1=-.在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=52+12-251(-)=32,所以AB=4.故选A.6.a,b,c均为正实数,则长度等于a,b,c的三条线段能构成锐角三角形的充要条件是(D)(A)a2+b2c2 (B)a2-b2c2(C)a-bca+b(D)a2-b2c2a2+b2解析:a,b,c均为正实数,则长度等于a,b,c的三条线段能构成锐角三角形,则都满足a2-b2c2C,从而cos C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+co
4、s Asin C=+=,由正弦定理=,所以b=.答案:11.已知ABC的三边a,b,c成等比数列,则角B的取值范围是.解析:因为b2=ac,所以cos B=.因为B(0,),所以B (0,.答案:(0, 12.(2018浙江卷)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60,则sin B=,c=.解析:如图,由正弦定理=,得sin B=sin A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得7=4+c2-4ccos 60,即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去).答案:313.在ABC中,A=60,b,c是方程x2-3x+2=0的两个实根,则边BC上
5、的高为.解析:因为b,c是方程x2-3x+2=0的两个实根,所以有b+c=3,bc=2.由余弦定理可得BC2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A=9-4-2=3,即a=.SABC=bcsin A=ah,解得h=1.答案:114.(2017绍兴一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,b=,若ABC的面积为,则c=,B=.解析:因为A=,b=,ABC的面积为=bcsin A=c,解得c=1+,所以由余弦定理得a=2,故cos B=,因为B(0,),所以B=.答案:1+15.(2018江苏卷)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A
6、BC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.解析:法一如图,因为SABC=SABD+SBCD,所以acsin 120=c1sin 60+a1sin 60,所以ac=a+c.所以+=1.所以4a+c=(4a+c)(+)=+52+5=9.当且仅当=,即c=2a时取等号.法二如图,以B为原点,BD为x轴建立平面直角坐标系,则D(1,0),A(,-c),C(,a).又A,D,C三点共线,所以=,所以ac=a+c.所以+=1.所以4a+c=(4a+c)(+)=+52+5=9.当且仅当=,即c=2a时取等号.答案:916.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+
7、=2a,b=,则ABC的面积是.解析:由+=2a,可得+=2sin A,所以=2sin A,所以sin2C+sin2B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)sin Bsin C=2sin2Bsin Ccos C+2sin2Csin Bcos B,所以sin2C(1-2sin Bcos B)+sin2B(1-2sin Ccos C)=0,所以sin2C(sin B-cos B)2+sin2B(sin C-cos C)2=0,所以sin B=cos B,sin C=cos C,可得B=C=45,又因为b=,所以SABC=()2=1.答案:1三、解答题17.(2018全国卷)在平面四边形
8、ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2,求BC.解:(1)在ABD中,由正弦定理得=.即=,所以sinADB=.由题设知,ADB90,所以cosADB=.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25.所以BC=5.巩固提高B一、选择题1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=b2+c2-bc,则角A是(A)(A)(B)(C)(D)解析:a2=b2+c2-bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cos A=,所以A=.故
9、选A.2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,b2=ac,则ABC一定是(C)(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,化为(a-c)2=0,解得a=c.又B=60,可得ABC是等边三角形.故选C.3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.且cos2=,则ABC是(A)(A)直角三角形(B)等腰三角形或直角三角形(C)正三角形(D)等腰直角三角形解析:cos2=,所以=,所以=1+,所以b2+c2-a2+2bc=2b2+2bc,所以c2=a2+b2,因此是直角
10、三角形.故选A.4.若满足条件AB=,C=的三角形ABC有两个,则边长BC的取值范围是(C)(A)(1,) (B)(,) (C)(,2) (D)(,2)解析:当BCsinABBC,即BC2时,三角形ABC有两个.故选C.5.(2017金华十校高三4月模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=30,ABC的面积为,sin A+sin C=2sin B,则b的值为(D)(A)4+2(B)4-2(C)-1(D)+1解析:已知sin A+sin C=2sin B,由正弦定理可得,a+c=2b.又因为ABC的面积为,所以acsin 30=,即ac=6.由余弦定理可得,b2=a2+c2
11、-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B),即b2=(2b)2-26(1+cos 30),解得b=+1.故选D.6.已知ABC的三条边的边长分别为4米,5米,6米,将三边都截掉x米后,剩余的部分组成一个钝角三角形,则x的取值范围是(C)(A)(0,5)(B)(1,5)(C)(1,3)(D)(1,4)解析:剩余的部分三边长分别为4-x,5-x,6-x(0x(5-x)2+(4-x)2,所以1x5,所以1x6-x,所以x3,所以1x3.故选C.7.已知G是ABC的重心,且a+b+c=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,则cos C等于(C)(A)(B)-(C)(D)解析:因为
12、=-(+),a+b+c-(+)=(a-c)+(b-c)=0,由于,不共线,所以a=b=c,cos C=,故选C.8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,则ABC一定是(C)(A)锐角三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰或者直角三角形解析:法一由两直线平行可得bcos B-acos A=0,由正弦定理可知sin Bcos B-sin Acos A=0,即sin 2A=sin 2B,又A,B(0,),且A+B(0,),所以2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=.若A=B,则a=b,co
13、s A=cos B,此时两直线重合,不符合题意,舍去,故A+B=,则ABC是直角三角形.故选C.法二由两直线平行可得bcos B-acos A=0,由余弦定理,得a=b,所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2.若a=b,则两直线重合,不符合题意,故a2+b2=c2,则ABC是直角三角形.故选C.二、填空题9.在ABC中,AB=2,AC=2且B=30,则ABC的面积等于.解析:在ABC中,AB=2,AC=2且B=30,根据余弦定理可得AC2=AB2+BC
14、2-2ABBCcos B,代入数据计算可得BC=2,或BC=4,根据三角形的面积公式S=ABBCsin B可以求得ABC的面积等于2或.答案:2或10.在ABC中,若a2+b2c2,且sin C=,则角C=.解析:因为a2+b2c2,所以a2+b2-c20,即cos C0.又sin C=,所以C=.答案:11.在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若a=2,b=3,c=4,则=.解析:=-.答案:-12.在ABC中,C=,AB=,AB边上的高为,则AC+BC=.解析:三角形面积S=ACBCsin,所以ACBC=,由余弦定理得cos=,所以AC2+BC2=,所以(AC+BC)2=+
15、=11,所以AC+BC=.答案:13.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,ABC的面积为S,(a2+b2)tan C=8S,则=.解析:由题意可知(a2+b2)()=8(absin C),所以=4ab,由余弦定理得cos C=,可得=2,由正弦定理可得=2.答案:214.(2018嘉兴4月模拟)设ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知a2+2b2=c2,则=;tan B的最大值为.解析:因为a2+2b2=c2,由余弦定理得C为钝角,所以=-3;即tan C=-3tan A,tan B=-tan(A+C)=,由基本不等式可得+3tan A2,当且仅当tan A=时等号成立,所以tan B的最大值为=.答案:-3三、解答题15.(2018台州中学模拟)在ABC中,cos B=-,cos C=.(1)求sin A的值;(2)设ABC的面积SABC=,求BC的长.解:(1)由cos B=-,得sin B=,由cos C=,得sin C=,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=;(2)由SABC=得ABACsin A=,所以ABAC=65,又AC=AB,所以AB=,BC=.