1、福建省莆田市第六中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（B卷）（含解析）（时间120分钟，满分150分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：A中函数不是减函数；B中函数在定义域内不是减函数；C中函数既是奇函数又是减函数；D中函数不是奇函数考点：函数奇偶性单调性2.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别计算得到，再计算得到答案.【详解】；故选：【点睛】本题考查了交集的计算，属于简单题.3.函数f（x
2、）=A. （-2,-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】C【解析】试题分析：，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存性定理4.下列函数中，与函数为相同函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别判断函数的定义域和表达式，与函数作比较判断得到答案.【详解】定义域为A. 定义域为，不相同；B. ，表达式不相同；C. ，定义域为，是相同函数； D. 定义域为，不相同；故选：【点睛】本题考查了相同函数的判断，确定定义域和表达式是解题的关键.5.已知函数是定义域为的偶函数，则的值为（ ）A. 0B. C. 1D. -1【答案】B【解析】函数是定义域为的偶
3、函数，故 函数是偶函数，故奇次项系数为0.即此时故答案为B6.三个数，之间的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，所以.考点：比较大小7.函数的图形大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】按的正负分类讨论，结合指数函数图象确定结论【详解】由题意，只有C符合故选：C【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，考查指数函数图象，这类问题可先化简函数式，然后结合基本初等函数的图象与性质确定结论8.已知函数, 若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据在上递增列不等式组，解不等式组求得的取值范围
4、.【详解】由于在上递增，所以，解得.故选：C.【点睛】本小题主要考查分段函数的单调性，考查一次函数、对数函数的单调性，属于基础题.9.设，且，则 ( )A. B. 10C. 20D. 100【答案】A【解析】【分析】将指数式化为对数值，然后利用对数运算公式化简，由此求得的值.【详解】由得，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，考查对数运算，属于基础题.10.某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额：（1）如果标价总额不超过200元，则不给予优惠；（2）如果标价总额超过200元但不超过500元，则按标价总额给予9折优惠；（3）如果标价总额超过500元，其500元内的按
5、第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ）A. 550元B. 560元C. 570元D. 580元【答案】C【解析】【分析】先判断第一次购物不超过200，第二次不超过500，计算得到共购物650元，再计算得到答案.【详解】若第一次购物超过200，则付款大于，故第一次购物不超过200元；若第二次购物超过500，则付款大于，故第二次购物不超过500元；第二次购物 合计 付款为 故选：【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.11. 是定义在 上单调递减的奇函数，当 时，
6、 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由函数是奇函数可得，即；由函数是单调递减函数可得，应选答案D12.用表示a,b,c三个数中的最小值设，则的最大值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】化简得到函数，画出函数图像得到答案.【详解】其中为的大于零的根.画出函数图像知：当故选： 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，分段函数最值，画出函数图像是解题的关键.二、填空题(共5小题，每小题5分，共20分)13.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可【详解】解不等式得，所以，所以可以求得故答案为【点睛】本题考
7、查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查14.函数的定义域是_【答案】，【解析】【分析】直接利用函数定义域的定义得到不等式计算得到答案.【详解】函数的定义域满足： 解得 故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.15.已知函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间为_【答案】，【解析】【分析】先计算得到，根据复合函数的单调性得到计算得到答案.【详解】函数与的图象关于直线对称，则根据复合函数单调性得到的单调递增区间满足 解得 故答案为：【点睛】本题考查了复合函数的单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.16.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减
8、为原来的一半,这个时间称为“半衰期”2019年7月6日，第43届世界遗产大会宣布，中国良渚古城遗址成功申遗，获准列入世界遗产名录目前中国世界遗产总数已达55处，位居世界第一今年暑期，某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的54%利用参考数据：，请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有_年（精确到1年）【答案】4966【解析】【分析】根据题意得到方程，计算得到答案.【详解】设时间为，根据题意知： 故答案为：【点睛】本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题（本大题共
9、6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17.（1）计算：；（2）已知（且），若，求的值【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）直接利用对数的计算法则得到答案.（2）先计算，再得到，计算得到答案.【详解】（1）（2），又，即，则【点睛】本题考查了对数的计算，函数值的计算，意在考查学生的计算能力.18.已知函数的图象过点（1）求实数的值，并求的定义域和值域；（2）解不等式【答案】（1），定义域为，的值域为（2）或【解析】【分析】（1）将代入函数解得，再计算得到定义域，最后计算值域得到答案.（2）根据题意得到得到不等式计算得到答案.【详解】（1）由题意得，所以，所以
10、，由得或，则的定义域为，因为，所以的值域为（2）不等式，所以 解得或所以不等式的解集为或【点睛】本题考查了对数型函数的定义域，值域，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.对于函数（1）定义法证明：函数为减函数；（2）是否存在实数使函数为奇函数？【答案】（1）详见解析（2）存在实数使函数为奇函数【解析】【分析】（1）设任意且，计算得到证明.（2）根据化简得到计算得到答案.【详解】（1）函数的定义域为R，设任意且，则，由，得，则，即为R上减函数；（2）若函数为奇函数，则，即，所以存在实数使函数奇函数【点睛】本题考查了定义法证明函数的单调性，根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的综合应
11、用.20.设,求函数最值及相应的的值【答案】时，; 时，【解析】【分析】，设得到根据二次函数的单调性得到答案.【详解】，设，且，由于，则在上为减函数，在上为增函数，当，则，即时，又，即，当，则，即时，【点睛】本题考查了函数的最值，换元可以简化运算，是解题的关键.21.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（1）分别写出两类产品收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最
12、大收益为多少万元？【答案】（1），；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元【解析】【分析】（1）由题意，得到，代入求得的值，即可得到函数的解析式；（2）设债券类产品投资万元，可得股票类产品投资万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设投资债券类产品的收益与投资额的函数关系式为，投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为，可知，所以，.（2）设债券类产品投资万元，则股票类产品投资万元，总的理财收益.令，则，故，所以，当时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22.已知函数，是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）利用奇函数得到，计算得到答案.（2）设，利用定义法证明为减函数，再讨论和，利用复合函数单调性得到答案.【详解】（1）因为是在上的奇函数，所以，即，所以，则，即对定义域中的都成立，所以，又，所以；（2）所以设，设，则，.当时，即.当时，在上是减函数.当时，即.当时，在上是增函数.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.