1、31.2两条直线平行与垂直的判定 平面几何中，两条直线平行同位角相等问题1：在平面直角坐标中，若l1l2，则它们的倾斜角1与2有什么关系？提示：相等问题2：若l1l2，则l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？提示：不一定可能平行也可能重合对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1l2k1k2.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与l2不重合(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90，则l1l2.(3)两条
2、不重合直线平行的判定的一般结论是：l1l2k1k2或l1，l2斜率都不存在. 已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30，l1l2.问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1，k2.问题2：上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？提示：k1k21.问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为1吗？提示：一定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即l1l2k1k21.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k21成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k10且k20.(2)两条直
3、线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1l2k1k21或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行(1)l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的倾斜角为60，l2经过点M(1，)，N(2，2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)(1)由题意知，k1，k2，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC，故l1l2.(2)
4、由题意知，k11，k21，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG1，故直线l1与直线l2重合(3)由题意知，k1tan 60，k2，k1k2，所以直线l1与直线l2平行或重合(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.判断两条不重合直线是否平行的步骤1试确定m的值，使过点A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行解：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在kAB，kCD，由于ABCD，即kABkCD，所以，得m2.经验证m2时直线AB的斜率存在，所以m2. 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a
5、2，3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，如果l1l2，求a的值设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，且21，l2的斜率存在当k20时，a23，则a5，此时k1不存在，符合题意当k20时，即a5，此时k10，由k1k21，得1，解得a6.综上可知，a的值为5或6.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论总之，l1与l2一个斜率
6、为0，另一个斜率不存在时，l1l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1k21.2已知定点A(1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是_解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则ACBC.设C(x,0)，则kAC，kBC，所以1，得x1或2，所以C(1,0)或(2,0)答案：(1,0)或(2,0) 已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合
7、，所以ABCD.由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形1在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标2证明两直线平行时，仅有k1k2是不够的，注意排除两直线重合的情况3已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足ABCD，且ADBC，试求点D的坐标解：设D(x，y)，则kAB1，kBC，kCD，kDA.因为ABCD，ADBC，所以，kABkCD1，kDAkBC，所以解得即D(10，6)已知直线l1经过A(3，m)，B(m1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(2，m2)
8、(1)若l1l2，求m的值；(2)若l1l2，求m的值先求l2的斜率由l1l2得k1k2列关系式检验由l1l2讨论k20或k20，再由k1k21得出结论当k20时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1k21，即1，解得m3或m4，(10分)所以m3或m4时，l1l.(12分)处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值，解答过程不严谨处讨论k20和k20两种情况此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范已知A(m3,2)，B(2m4,4)，C(m，m)，D(3,3m2)，若直线ABCD，求m的值解：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行因为ABCD，所以CD
9、与x轴不垂直，故m3.当AB与x轴垂直时，m32m4，解得m1，而m1时，C，D纵坐标均为1，所以CDx轴，此时ABCD，满足题意当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得kAB，kCD.因为ABCD，所以kABkCD1，解得m1.综上，m的值为1或1. 1下列说法正确的有()若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若l1l2，则k1k2；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行A1个B2个C3个 D4个解析：选A若k1k2，则这两条直线平行或重合，所以错；当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所
10、以错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以错；正确2直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是()A平行 B重合C相交但不垂直 D垂直解析：选D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k21.3已知ABC中，A(0,3)、B(2，1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为_解析：E、F分别为AC、BC的中点，EFAB.kEFkAB2.答案：24经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_解析：由题意可知kl，又因为kl，所以，解得m.答案：5判断下列各小题中的直线l1与l2的位
11、置关系(1)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(10,40)，N(10,40)；(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(1,3)，N(2,0)；(4)l1过点A(3,2)，B(3,10)，l2过点M(5，2)，N(5,5)解：(1)k110，k2.k1k21，l1l2.(2)l1的倾斜角为90，则l1x轴k20，则l2x轴，l1l2.(3)k11，k21，k1k2.又kAM2k1，l1l2.(4)l1与l2都与x轴垂直，l1l2.一、选择题1已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，
12、1)和点N(3,4)的直线平行，则m的值是()A1 B1C2 D2解析：选B因为MNPQ，所以kMNkPQ，即 ，解得m1.2以A(1,1)，B(2，1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形解析：选C如右图所示，易知kAB，kAC，由kABkAC1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形3已知点A(2，5)，B(6,6)，点P在y轴上，且APB90，则点P的坐标为()A(0，6) B(0,7)C(0，6)或(0,7) D(6,0)或(7,0)解析：选C由题意可设点P的坐标为(0，y)因为APB90，所以APBP，且
13、直线AP与直线BP的斜率都存在又kAP，kBP，kAPkBP1，即()1，解得y6或y7.所以点P的坐标为(0，6)或(0,7)4若A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：ABCD；ABAD；ACBD；ACBD中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C由题意得kAB，kCD，kAD，kAC，kBD4，所以ABCD，ABAD，ACBD.5已知点A(2,3)，B(2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形解析：选B如图所示，易知kAB，kBC0，kCD，kAD0，kBD，kAC，所以kA
14、BkCD，kBCkAD，kABkAD0，kACkBD，故ADBC，ABCD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直所以四边形ABCD为平行四边形二、填空题6l1过点A(m,1)，B(3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1l2，则m_.解析：l1l2，且k21，k11，m0.答案：07已知直线l1的倾斜角为45，直线l2l1，且l2过点A(2，1)和B(3，a)，则a的值为_解析：l2l1，且l1的倾斜角为45，kl2kl1tan 451，即1，所以a4.答案：48已知A(2,3)，B(1，1)，C(1，2)，点D在x轴上，则当点D坐标为_时，ABCD.解析：设点D(x,0)，因为kA
15、B40，所以直线CD的斜率存在则由ABCD知，kABkCD1，所以41，解得x9.答案：(9,0)三、解答题9当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135；(2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行？解：(1)由kABtan 1351，解得m，或m1.(2)由kAB，且3.则，解得m，或m3.(3)令2，解得m，或m1.10直线l1经过点A(m,1)，B(3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(1，m1)，当l1l2或l1l2时，分别求实数m的值解：当l1l2时，由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD，即，解得m3；当l1l2时，由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD1，即1，解得m.综上，当l1l2时，m的值为3；当l1l2时，m的值为.
