1、导数及其应用章末单元检测题命题人：郑国岐(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)在x1处的导数为1，则 的值为()A3 BC. D2对任意的x，有f(x)4x3，f(1)1，则此函数解析式可以为()Af(x)x4 Bf(x)x41Cf(x)x42 Df(x)x43设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g (1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A4 BC2 D4曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形面积为()A. B.C.
2、 D15下列函数中，在区间(1,1)上是减函数的是()Ay23x2 Byln xCy Dysin x6如图，抛物线的方程是yx21，则阴影部分的面积是()A.(x21)dxB|(x21)dx|C.|x21|dxD.(x21)dx(x21)dx7已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的极值情况为()A极大值，极小值0B极大值0，极小值C极大值0，极小值D极大值，极小值08已知曲线方程f(x)sin2x2ax(aR)，若对任意实数m，直线l：xym0都不是曲线yf(x)的切线，则a的取值范围是()A(，1)(1,0)B(，1)(0，)C(1,0)(0，)DaR且a
3、0，a19设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且f(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)10. 函数f(x)axm(1x)n在区间上的图象如图所示，则m，n的值可能是()Am1，n1Bm1，n2Cm2，n1Dm3，n1f(x)在上单调递增，不符合题意二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为_12.dx_.13已知二次函数f(x)a
4、x2bxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x都有f(x)0，则的最小值为_14. 如图所示，A1，A2，Am1(m2)将区间m等分，直线x0，x1，y0和曲线yex所围成的区域为1，图中m个矩形构成的阴影区域为2.在1中任取一点，则该点取自2的概率等于_15若以曲线yf(x)任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1，y1)，以点N为切点作切线l1，且ll1，则称曲线yf(x)具有“可平行性”下列曲线具有可平行性的编号为_(写出所有满足条件的函数的编号)yx3xyxysin xy(x2)2ln x三、解答题(本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5、)16求由曲线xy1及直线xy，y3所围成平面图形的面积17已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值18设曲线f(x)x21和g(x)x3x在其交点处两切线的夹角为，求cos .19设函数f(x)a2ln xx2ax(a0)(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x恒成立20设函数f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在.2、解析：选C.由f(x)4x3，可设f(x)x4c(c为常数)，由f(1)1得11c，c2.3、解析：选A.由已知g(1)2，而f(x)g(x)2x，所以f(1)g(1)214，故选A.4、解析：选A.y2e2x，y
6、|x02，点(0,2)处的切线方程为y22x.令y0得x1.由得S1.5、解析：选C.对于函数y，其导数y0，且函数在区间(1,1)上有意义，所以函数y在区间(1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求6、解析：选C.由图形可知阴影部分的面积为：(1x2)dx(x21)dx.而|x21|dx(1x2)dx(x21)dx.故选C.7、解析：选A.f(x)3x22pxq.根据题意，得则f(x)x32x2x，f(x)3x24x1，令f(x)0，得x或x1.通过分析得，当x时，y取极大值；当x1时，y取极小值0.8、解析：选B.若存在实数m，使直线l是曲线yf(x)的切线，f(x)2sin xcos x
7、2asin 2x2a，方程sin 2x2a1有解，1a0，故所求a的取值范围是(，1)(0，)，选B.9、解析：选D.令F(x)，则F(x)为奇函数，F(x).当x0时，F(x)0.F(x)在区间(，0)上为增函数又F(3)0，F(3)0.当x3时，F(x)0；当3x0时，F(x)0.又F(x)为奇函数，当0x3时，F(x)0；当x3时，F(x)0.而不等式f(x)g(x)0和0为同解不等式(g(x)恒不为0)，不等式f(x)g(x)0的解集为(，3)(0,3)10、解析：选B.观察图象易知，a0，f(x)在上先增后减，但在上有增有减且不对称对于选项A，m1，n1时，f(x)ax(1x)是二次
8、函数，图象应关于直线x对称，不符合题意对于选项B，m1，n2时，f(x)ax(1x)2a(x32x2x)，f(x)a(3x24x1)a(x1)(3x1)，令f(x)0，得x1或x，f(x)在上单调递增，符合题意，选B.对于选项C，m2，n1时，f(x)ax2(1x)a(x2x3)，f(x)a(2x3x2)ax(23x)，令f(x)0，得0x，f(x)在上单调递增，不符合题意对于选项D，m3，n1时，f(x)ax3(1x)a(x3x4)，f(x)a(3x24x3)ax2(34x)，令f(x)0，得0x，11、解析：f(x)f(x)f(x)f(x)yf(x)为奇函数，故f(0)0.又f(x)f(x
9、5)f(x)f(x5)yf(x)为周期函数，周期为5.由于f(0)0，从而f(5)0.答案：012、解析：f(x)，取F(x)ln xln(x1)ln，则F(x)，所以dxdxln.答案：ln13、解析：f(x)2axb，有f(0)0b0.由于对于任意实数x都有f(x)0，从而得c0，从而1112，当且仅当ac时取等号答案：214、解析：依题意，阴影区域2的面积为S2(1eee)；区域1的面积为：S1exdxe1，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率答案：15、解析：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x值，总存在x1(x1x)使得f(x1)f(x)对于，由f(x1)f(x)可得xx2，但
10、当x0时不符合题意，故不具有可平行性；对于，由f(x1)f(x)可得，此时对于定义域内的任意一个x值，总存在x1x，使得f(x1)f(x)；对于，由f(x1)f(x)可得cos x1cos x，x1x2k(kZ)，使得f(x1)f(x)；对于，由f(x1)f(x)可得2(x12)2(x2)，整理得x1x，但当x时不符合题意，综上，答案为.答案：三、解答题：16、解：作出曲线xy1，直线xy，y3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积由得，故A(，3)；由得或(舍去)，故B(1,1)；由得，故C(3,3)17、解：f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，即解得或当a1，b3时，f(x)
11、3x26x33(x1)20，f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，当x(，3)时，f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数；f(x)在x1时取得极小值a2，b9.18、解：由得x3x2x10，即(x1)(x21)0，x1，交点为(1,2)又f(x)2x，f(1)2，曲线yf(x)在交点处的切线l1的方程为y22(x1)，即y2x，又g(x)3x21.g(1)4.曲线yg(x)在交点处的切线l2的方程为y24(x1)，即y4x2.取切线l1的方向向量为a(1,2)，切线l2的方向向量为b(1,
12、4)，则cos .19.、解：(1)因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)(2)由题意得f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在内单调递增，要使e1f(x)e2对x(1，e)恒成立只要解得ae.解：(1)f(x)aex，当f(x)0，即xln a时，f(x)在(ln a，)上递增；当f(x)0，即xln a时，f(x)在(，ln a)上递减当0a0，f(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，从而f(x)在当a1时，ln a0，f(x)在0，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(0)ab.(2)依题意f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)，所以a，代入原函数可得2b3，即b，故a，b.