1、第二章函数、导数及其应用第3讲 函数的奇偶性及周期性一、必记2个知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小
2、正周期二、必明3个易误区1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，f(x0)f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的三、必会2个方法1判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法：(2)图像法：2周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，
3、则T2a.(a0)考点一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性(1)f(x)； (2)f(x)；(3)f(x)3x3x； (4)f(x)；(5)f(x)考点二函数奇偶性的应用(1)(2013山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时， f(x) x2，则f(1)()A2B0 C1 D2(2)已知奇函数f(x)的定义域为，且在区间上递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围一题多变：本例(2)中条件在区间上“递减”变为“递增”，试想m的范围改变吗？若改变，求m的取值范围1设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_2已知函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上
4、是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是_考点三函数的周期性及其应用定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335 B338C1 678 D2 012设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x时，求f(x)的解析式课后作业 1(2013广东高考)定义域为R的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是()A4B3 C2 D12已知f(x)ax2bx是定义在上的
5、偶函数，那么ab 的值是()A B. C. D 3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f，且f(1)2，则f(2 014)_.4设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()AB C. D.5(2014大连测试)下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是()Ay Bylog2|x|Cy1x2 Dyx316设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_.7若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.8设定义在上的偶函数f(x)在区间上单调递减，若f(1m)0在上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)10设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x时，f(x)1x，则：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_