1、2014-2015学年福建省厦门二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）化（）的结果是（）A3B5CD2（5分）函数y=log2x的反函数是（）Ay=x2By=2Cy=2xDy=x3（5分）若f（x）=，则f（1）的值为（）A8BC2D4（5分）关于幂函数y=x下列说法正确在是（）A偶函数且在定义域内是增函数B非奇非偶函数且在定义域内是减函数C奇函数且在定义域内是增函数D非奇非偶函数且在定义域内是增函数5（5分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2
2、）6（5分）下列各组函数中为同一函数的是（）Ay=（）2与y=By=|x|与y=Cf（x）=与g（x）=Dy=x与y=a7（5分）下列各式错误的是（）A30.830.7Blog0.50.4log0.50.6C0.750.10.750.1Dlg1.6lg1.48（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时f（x）=x+1，则当x0时，f（x）的表达式为（）Af（x）=x+1Bf（x）=x1Cf（x）=x+1Df（x）=x19（5分）如图所示是函数y=f（x）的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A函数f（x）的定义域为4，4）B函数f（x）的值域为0，5C此函数
3、在定义域中不单调D对于任意的y0，+），都有唯一的自变量x与之对应10（5分）若函数f（x）=x3+x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1）=2f （1.5）=0.625f （1.25）=0.984f （1.375）=0.260f （1.4375）=0.162f （1.40625）=0.054那么方程x3+x22x2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A1.2B1.3C1.4D1.511（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x21，值域为1，7的“孪生函数”共有（）A10个B9个C8个D
4、4个12（5分）若函数f（x）=（k1）axax（a0，a1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13（4分）已知集合A=1，2，3，5，B=2，4，5，则AB=14（4分）已知集合A=x|mx=1=，则m的值为15（4分）函数y=loga（aax），（a1）的值域为16（4分）阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号x表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，x就是x，当x不是整数时，x是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss）函数如2=2，1.5=2
5、，2.5=2则log2+log2+log2+log21+log22+log23+log24的值为三、解答题：本大题共6小题，共74分解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤17（12分）（）求值：（）0+0.25（）4；（）已知5a=3，5b=4求a，b并用a，b表示log251218（12分）已知集合A=x|33x27，B=x|x2（）分别求AB，（RB）A；（）已知集合C=x|1xa，若CA，求实数a的取值集合19（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x5，5，（1）当a=1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间5，5上是单调减函数20（13分）已
6、知函数f（x）=（）判断函数的奇偶性，并加以证明；（）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；（）若不等式f（1m）+f（1m2）0恒成立，求m的取值范围21（13分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22（12分）在探究函数f（x）=x3+，x（
7、，0）（0，+）的最值中，（）先探究函数y=f（x）在区间（0，+）上的最值，列表如下：x0.10.20.50.70.911.11.21.32345y30.015.016.134.64.0644.064.234.509.52864.75125.6观察表中y值随x值变化的趋势，知x=时，f（x）有最小值为；（）再依次探究函数y=f（x）在区间（，0）上以及区间（，0）（0，+）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；（）设g（x）=3x2+，若g（2x）k2x0在x1，1上恒成立，求k的取值范围2014-2015学年福建省厦门二中高一（上）期中数学试卷参考答
8、案与试题解析一、选择题：共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）化（）的结果是（）A3B5CD考点：有理数指数幂的化简求值 专题：函数的性质及应用分析：利用指数幂的运算法则即可得出解答：解：原式=故选：D点评：本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题2（5分）函数y=log2x的反函数是（）Ay=x2By=2Cy=2xDy=x考点：反函数 专题：函数的性质及应用分析：根据反函数的定义直接求出即可解答：解：由y=log2x得，x=2y，所以函数y=log2x的反函数是y=2x，故选：C点评：本题考查反函数的定义，以及底数相同的对数函数、指数函数互为
9、反函数的应用3（5分）若f（x）=，则f（1）的值为（）A8BC2D考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题：计算题分析：已知f（x）为分段函数，把x=1代入相对应的函数解析式，从而求解；解答：解：f（x）=，12，f（1）=f（1+2）=f（3）=23=，故选B点评：此题主要考查分段函数的解析式，此类题很简单，就是看分段函数的定义域，计算认真即可；4（5分）关于幂函数y=x下列说法正确在是（）A偶函数且在定义域内是增函数B非奇非偶函数且在定义域内是减函数C奇函数且在定义域内是增函数D非奇非偶函数且在定义域内是增函数考点：幂函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据幂函数y=
10、（x0），是定义域内的增函数，且非奇非偶，对每一个选项进行判断即可解答：解：幂函数y=（x0），定义域不关于原点对称，不是偶函数，A错误；在定义域内是增函数，B错误；是非奇非偶的函数，C错误；是非奇非偶函数且在定义域内是增函数，D正确故选：D点评：本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，解题时应熟记常见基本初等函数的图象与性质是什么5（5分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）考点：函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：根据函数零点的判定定理求得函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间解答：解
11、：由，以及及零点定理知，f（x）的零点在区间（1，0）上，故选B点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题6（5分）下列各组函数中为同一函数的是（）Ay=（）2与y=By=|x|与y=Cf（x）=与g（x）=Dy=x与y=a考点：判断两个函数是否为同一函数 专题：函数的性质及应用分析：根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可解答：解：对于A，y=（）2=x（x0），与y=|x|（xR）的对应关系不同，定义域也不同，不是同一函数；对于B，y=|x|xR，与y=|x|（xR）的对应关系相同，定义域也相同，是同一函数；对于C，f（x）=（x1），与g（x）=
12、（x1或x1）的定义域也不同，不是同一函数；对于D，y=x（xR），与y=x（x0）的定义域也不同，不是同一函数故选：B点评：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题7（5分）下列各式错误的是（）A30.830.7Blog0.50.4log0.50.6C0.750.10.750.1Dlg1.6lg1.4考点：不等式比较大小 专题：计算题分析：利用对数函数和指数函数的增减性进行选择解答：解：A、y=3x，在R上为增函数，0.80.7，30.830.7，故A正确；B、y=log0.5x，在x0上为减函数，0.40.6，log0.50
13、.4log0.50.6，故B正确；C、y=0.75x，在R上为减函数，0.10.1，0.750.10.750.1，故C错误；D、y=lgx，在x0上为增函数，1.61.4，lg1.6lg1.4，故D正确；故选C点评：此题考查对数函数和指数函数的性质及其应用，是一道基础题8（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时f（x）=x+1，则当x0时，f（x）的表达式为（）Af（x）=x+1Bf（x）=x1Cf（x）=x+1Df（x）=x1考点：函数奇偶性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由偶函数的定义求解析式解答：解：当x0时，x0，函数f（x）是定义域为R的偶函数，f（x）=f（x
14、）=（x）+1=x+1；故选C点评：本题考查了偶函数的定义的应用，属于基础题9（5分）如图所示是函数y=f（x）的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A函数f（x）的定义域为4，4）B函数f（x）的值域为0，5C此函数在定义域中不单调D对于任意的y0，+），都有唯一的自变量x与之对应考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：通过函数的定义域判断A的正误；函数的值域判断B、C的正误；利用公式的单调性判断D的正误；解答：解：由已知条件以及函数的图象可知，函数的定义域为4，01，4），所以A不正确；函数的值域为：0，+），所以B不正确；函数在4，0，1，4）是增函数，
15、这个定义域上不是增函数，所以C正确由函数的图象，可知D不正确；故选：C点评：本题考查函数的基本性质：定义域、值域以及单调性的判断与应用10（5分）若函数f（x）=x3+x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1）=2f （1.5）=0.625f （1.25）=0.984f （1.375）=0.260f （1.4375）=0.162f （1.40625）=0.054那么方程x3+x22x2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A1.2B1.3C1.4D1.5考点：二分法求方程的近似解 专题：应用题分析：由图中参考数据可得f（1.437500，f（1.40625）0
16、，又因为题中要求精确到0.1可得答案解答：解：由图中参考数据可得f（1.43750）0，f（1.40625）0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为 1.4故选 C点评：本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束11（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x21，值域为1，7的“孪生函数”共有（）A10个B9个C8个D4个考点：判断两个函数是否为同一函数 专题：新定义分析：根据已知中若一系列函数的解析式相同，值域相同，
17、但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，再由函数解析式为y=2x21，值域为1，7，由y=1时，x=1，y=7时，x=2，我们用列举法，可以得到函数解析式为y=2x21，值域为1，7的所有“孪生函数”，进而得到答案解答：解：由已知中“孪生函数”的定义：一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，当函数解析式为y=2x21，值域为1，7时，函数的定义域可能为：2，1，2，1，2，1，2，1，2，1，1，2，1，2，1，1，2，2，1，2，2，1，1，2，共9个故选B点评：本题考查的知识点是新定义，函数的三要素，基本用列举法，是解答此类问题的常用方法，但列举时，要注意一定的规则，以免重复和遗
18、漏12（5分）若函数f（x）=（k1）axax（a0，a1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）ABCD考点：奇偶性与单调性的综合；对数函数的图像与性质 专题：数形结合分析：根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果解答：解：函数f（x）=（k1）axax（a0，a1）在R上是奇函数，f（0）=0k=2，又f（x）=axax为减函数，所以1a0，所以g（x）=loga（x+2）定义域为x2，且递减，故选：A点评：本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看
19、出题目中所出现的两个函数性质的应用二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13（4分）已知集合A=1，2，3，5，B=2，4，5，则AB=1，2，3，4，5考点：并集及其运算 专题：集合分析：直接利用并集运算求解解答：解：A=1，2，3，5，B=2，4，5，则AB=1，2，3，52，4，5=1，2，3，4，5故答案为：1，2，3，4，5点评：本题考查了并集及其运算，是基础的计算题14（4分）已知集合A=x|mx=1=，则m的值为0考点：集合关系中的参数取值问题 专题：计算题分析：根据题意，集合A=x|mx=1=，即方程mx=1无解，由一元一次方程的意义，分析可得答案解答：解：根据题意，
20、集合A=x|mx=1=，即方程mx=1无解，分析可得，m=0时，mx=1无解，故m的值为0；故答案为0点评：本题考查集合的意义，关键要把x|mx=1=转化为方程mx=1无解15（4分）函数y=loga（aax），（a1）的值域为（，1）考点：函数的值域 专题：函数的性质及应用分析：先求出函数的单调性，结合x时，ta，y1，x1时，t0，y，从而求出函数的值域解答：解：要使函数有意义，则aax0，即axa，设t=aax，解得x1，即函数的定义域为（，1），此时函数t=aax，为减函数，而y=logat为增函数，根据复合函数单调性之间的性质可知此时函数y=loga（aax）单调递减，故函数的减区间
21、为（，1），x时，ta，y1，x1时，t0，y，函数y=的值域是（，1），故答案为：（，1）点评：本题考查了函数的值域问题，考查了对数函数的性质，是一道基础题16（4分）阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号x表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，x就是x，当x不是整数时，x是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss）函数如2=2，1.5=2，2.5=2则log2+log2+log2+log21+log22+log23+log24的值为1考点：对数的运算性质；函数的值 专题：计算题；新定义分析：根据新定义当x是整数，x就是x，当x不是整数时
22、，x是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数，先求出各对数值或所处的范围，再用取整函数求解解答：解：由题意可得：log2+log2+log2+log21+log22+log23+log24=2+（2）+（1）+0+1+1+2=1故答案为1；点评：本题是一道新定义题，这类题目要严格按照定义操作，转化为已知的知识和方法求解，还考查了对数的运算及性质三、解答题：本大题共6小题，共74分解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤17（12分）（）求值：（）0+0.25（）4；（）已知5a=3，5b=4求a，b并用a，b表示log2512考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算 专题
23、：函数的性质及应用分析：（I）利用指数运算法则即可得出（II）利用对数的换底公式、对数的运算法则即可得出解答：解：（I）原式=5+2=3（II）5a=3，5b=4，a=log53，b=log54log2512=点评：本题考查了指数体育对数运算法则、对数的换底公式，属于基础题18（12分）已知集合A=x|33x27，B=x|x2（）分别求AB，（RB）A；（）已知集合C=x|1xa，若CA，求实数a的取值集合考点：集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算 分析：（1）解指数不等式我们可以求出集合A，再由集合补集的运算规则，求出CRB，进而由集合交集和并集的运算法则，即可求出AB，（CRB
24、）A；（2）由（1）中集合A，结合集合C=x|1xa，我们分C=和C两种情况，分别求出对应的实数a的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案解答：解：（1）A=x|33x27=x|1x3，B=x|x2（1分）AB=x|2x3（1分）（CRB）A=x|x2x|1x3=x|x3（2分）（2）当a1时，C=，此时CA（1分）当a1时，CA，则1a3（1分）综上所述，a的取值范围是（，3（1分）点评：本题考查的知识点是集合交、并、补集的混合运算，集合关系中的参数取值问题，指数不等式的解法，对数不等式的解法，其中解指数不等式和对数不等式求出集合A，B是解答本题的关键，在（2）的解答中易忽略C为空集也满足条件
25、而错解为（1，3，也容易忽略最后要的结果为集合，不能用不等式的形式表达19（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x5，5，（1）当a=1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间5，5上是单调减函数考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质 专题：计算题；综合题；函数的性质及应用分析：（1）当a=1时f（x）=x22x+2，可得区间（5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数由此可得f（x）max=37，f（x） min=1；（2）由题意，得函数y=f（x）的单调减区间是a，+），由5，5a，+）解出a5，即为实数a的取值范围解答：解：（
26、1）当a=1时，函数表达式是f（x）=x22x+2，函数图象的对称轴为x=1，在区间（5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数函数的最小值为f（x）min=f（1）=1，函数的最大值为f（5）和f（5）中较大的值，比较得f（x）max=f（5）=37综上所述，得f（x）max=37，f（x） min=1（6分）（2）二次函数f（x）图象关于直线x=a对称，开口向上函数y=f（x）的单调减区间是（，a，单调增区间是a，+），由此可得当5，5a，+）时，即a5时，f（x）在5，5上单调减，解之得a5即当a5时y=f（x）在区间5，5上是单调减函数（6分）点评：本题给出含有参数的二次函
27、数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识，属于基础题20（13分）已知函数f（x）=（）判断函数的奇偶性，并加以证明；（）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；（）若不等式f（1m）+f（1m2）0恒成立，求m的取值范围考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：（）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；（）根据函数单调性的定义即可判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；（）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（1m）+f（1m2）0进行转化即可求m的取值范围解答：解：（）函数f（x）为减函
28、数，f（x）=f（x），函数f（x）为减函数；（）设x1x2，则f（x1）f（x2）=，x1x2，则f（x1）f（x2）=0，即f（x1）f（x2），即函数在其定义域上的单调递增；（）若不等式f（1m）+f（1m2）0恒成立，则等价为f（1m）f（1m2），f（x）为奇函数且为增函数，不等式等价为f（1m）f（m21），即1mm21，则m2+m20，解得m1或m2，即m的取值范围是m|m1或m2点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用定义法是解决本题的关键要求熟练掌握函数性质综合应用21（13分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例
29、，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值 专题：应用题分析：（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10x万元，设企业利润为y万元利用（1）由此可建立函
30、数，采用换元法，转化为二次函数利用配方法求函数的最值解答：解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元由题意设f（x）=k1x，由图知，又g（4）=1.6，从而，（8分）（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10x万元，设企业利润为y万元（0x10）令，则=当t=2时，此时x=104=6（15分）答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元 （16分）点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题22（12分）在探究函数f（x）=x3+，x（，0）（0，+）的最值中，（）先
31、探究函数y=f（x）在区间（0，+）上的最值，列表如下：x0.10.20.50.70.911.11.21.32345y30.015.016.134.64.0644.064.234.509.52864.75125.6观察表中y值随x值变化的趋势，知x=1时，f（x）有最小值为4；（）再依次探究函数y=f（x）在区间（，0）上以及区间（，0）（0，+）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；（）设g（x）=3x2+，若g（2x）k2x0在x1，1上恒成立，求k的取值范围考点：函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用分析：（）由表看出x=1时，f（x）有最
32、小值是4；（）可以证明函数为奇函数，则可以利用f（x）=f（x）得出函数在（，0）的函数值对应表，可得在区间（，0）上，x=1时，取得最大值4，然后利用函数图象关于原点对称，可知图象趋向无穷大，无最值，（）令2x=t换元化简，然后再令=x，换元将恒成立问题转化为最值问题求解，可以利用本题中（）的结论求最值解答：解：（）x=1时，f（x）有最小值是4；（）探究函数y=f（x）在区间（，0）上的最值，列表如下：x0.10.20.50.70.911.11.21.32345y30.015.016.134.64.0644.064.234.509.52864.75125.6综合上表，在区间（，0）上，x=1时，取得最大值4，在区间（，0）（0，+）上，函数无最值，（）令2x=t，由x1，1得t，2，则g（2x）k2x0换元得g（t）kt0，即k=3t+，再令=x，由t，2得x，2，换元得kx3+，即求解kx3+，对于x，2恒成立，由（）可知f（x）=x3+在区间（0，+）上，x=1时，f（x）有最小值是4，则x，2时，x3+4，则k4点评：本题考察函数的性质及最值问题，难点在（）中通过两次换元转化为f（x）=x3+在区间，2上的最值求解，同时注意换元时引入参数要注明参数范围