1、高二数学试题 2019.9 出题人：张晓艳 审题人：郭冰一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 或2.不等式2x2-5x-30成立的一个必要不充分条件是（）A. B. 或 C. D. 或3.若样本数据x1，x2，x10的方差为8，则数据2x1-1，2x2-1，2x10-1的方差为（）A. 31B. 15C. 32D. 164.已知一组数据的频率分布直方图如图所示则众数、中位数、平均数分别为（ ）A. 63、64、66B. 65、65、67 C. 65、64、66 D. 64、65、645.有线性相关关系的变量x，y有观测数据（
2、xi，yi）（i=1，2，15），已知它们之间的线性回归方程是，若，则（）A. 17B. 86C. 101D. 2556.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A. B. C. D. 7.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第营区，从201到500住在第营区，从501到600住在第营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）A. 16，26，8B. 17，24，9C
3、. 16，25，9D. 17，25，88.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A. B. C. D. 9.给出如下四个命题： 若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题； 命题“若ab，则2a2b-1”的否命题为“若ab，则2a2b-1”； “xR，x2+11”的否定是“xR，x2+11”； 在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件 其中正确的命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 410.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放一枚质地均匀的硬币，所有人同时抛掷自己面前的硬币一次若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这
4、个人继续坐着，那么，事件“相邻的两个人站起来”没有发生的概率为（）A. B. C. D. 11.椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（）A. B. C. D. 12.已知椭圆的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则 椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“xR，3x2-2x+10”的否定是_14.某中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为150的样本，已知样本中女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_15.设椭圆的两个焦点
5、为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为_ 16.在平面直角坐标系xOy中，已知F是椭圆的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点且PFx轴若 ，则该椭圆的离心率为_三、解答题（本大题共6小题，共70分.第17题10分，第18-22题每题12分）17.已知p：xR，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上若命题pq为真命题，求实数m的取值范围18.某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示其中落在80，90)内的频数为36(1)请根据图中所给数据，求出a及n的值；(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从
6、左到右)中分别抽取了几名学生的成绩？(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率19.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表： 年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：用最小二乘法求线性回归方程系数公式20.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎
7、叶图如图（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率21.已知椭圆+=1（ab0）右顶点与右焦点的距离为-1，短轴长为（）求椭圆的方程；（）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程22.设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A(0，2)，右焦点F与点的距离为2(1)求椭圆的方程；(2)是否存在经过点(0，-3)的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由答案和解析1.【
8、答案】D【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题曲线表示椭圆，可得，解出即可得出【解答】解：曲线表示椭圆，解得-1k1，且k0故选D2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了充分必要条件，考查不等式解法，是一道基础题；解题时，先求出不等式2x2-5x-30的解集，再根据集合的包含关系判断即可【解答】解：解不等式2x2-5x-30得：x3或x-，不等式2x2-5x-30成立的一个必要不充分条件是：x0或x2，故选B3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方差的性质与应用问题，属于基础题目根据样本数据的方差是，得出对应数据的方差是【解答
9、】解：因为样本数据的方差为8，所以数据的方差为故选C4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用频率分布直方图求数据的众数、中位数和平均数的问题，属于基础题，在频率分布直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值，中位数是所有小长方形的面积相等的分界线，平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和，由此求出即可【解答】解：由频率分布直方图可知，众数为=65，由100.03+50.04=0.5，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65，平均数为550.3+650.4+750.15+850.1+950.05=67.故选B.5.【答案】D【解析】解：，=，则=5+11=5+11=6
10、+11=17，则15=1517=255，故选：D根据条件求出，的值，即可得到结论本题主要考查线性回归方程的应用，根据直线过样本中心（，）是解决本题的关键6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有6种方法.红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法；红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13
11、，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P=故选C7.【答案】D【解析】【分析】本题解题的关键是看出每一个组里的人数，属于基础题依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而得出三个营区被抽中的人数本题考查系统抽样方法，【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，所以,解得n，故可分别求出在001到200中有17人，,解得m，在201至500号中共有42-17=25人，则50
12、1到600中有50-17-28=8人故选D8.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比【解答】解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下： 甲 乙锤剪子包袱锤（锤，锤）（锤，剪子）（锤，包袱）剪子（剪子，锤）（剪刀，剪子）（剪子，包袱）包袱（包袱，锤）（包袱，剪子）（包袱，包袱）由表格可知，共有9种等可能情况其中平局的有3种：（锤，锤）、（剪子，剪子）、（包袱，包袱）甲和乙平局的概率为：=故选：A9.【
13、答案】C【解析】解：若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误； 命题“若ab，则2a2b-1”的否命题为“若ab，则2a2b-1”，故正确； “xR，x2+11”的否定是“xR，x2+11”，故正确； 在ABC中，“AB”“ab”“2RsinA2RsinB”“sinAsinB”， 故“AB”是“sinAsinB”的充要条件，故正确 故选：C根据复合命题真假判断的真值表，可判断；根据四种命题的定义，可判断；根据全称命题的否定，可判断；根据充要条件的定义，可判断本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，难度中档10.【
14、答案】B【解析】【分析】本题主要考查古典概型求概率，利用间接法，先计算有相邻的两个人站起来的概率，属中档题.【解答】解：由题意可知，四个人抛硬币，一共有24=16种不同的情况，其中有相邻两个人同为正面需要站起来有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，四个人都站起来共有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率，故没有相邻的两个人站起来的概率为，故选B.11.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，属于基础题.在解决弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，
15、两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得+=0，即=，即=，即=，即=，弦所在的直线的斜率为.故选D.12.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的定义以及离心率范围，考查计算能力，属于中档题根据已知及椭圆的性质及几何意义，求出离心率e的取值范围.【解答】解：由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=2|PF2|PF1|=，|PF2|=又即所以：所以椭圆的离心率e的取值范围是，1），故选C13.【答案】x0R，3x02-2x0+10【解析】解：命题为全称命题，则命题“xR，3x2-2x+10”的
16、否定是的否定为x0R，3x02-2x0+10， 故答案为：x0R，3x02-2x0+10根据含有量词的命题的否定即可得到结论本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础14.【答案】560【解析】【分析】本题主要考查分层抽样的应用.【解答】解：设该校的女生人数为x，则男生人数为1200x抽样比例为，女生比男生少抽了10人，解得x560故该校的女生人数为560.故答案为560.15.【答案】-2，1【解析】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（-，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1-；=（-x，-y），=（-x，-y）；
17、=（-x，-y）（-x，-y）=x2-3+1-=-2，由题意可知：x-2，2，则x20，4，的取值范围为-2，1故答案为：-2，1由题意可知：焦点坐标为F1（-，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1-，=（-x，-y）（-x，-y）=x2-3+1-=-2，则x20，4，的取值范围为-2，1本题考查椭圆的简单几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题16.【答案】【解析】解：把x=-c带入椭圆方程得+=1，解得y=，PF=，由PF=AF可得：=（a+c），即=，e=故答案为：计算PF，根据化简得出离心率的值本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题17.【答案】
18、解：p：xR，不等式恒成立，(x-)2+，即，解得：；q：椭圆的焦点在x轴上，m-13-m0，解得：2m3，由pq为真知，p，q皆为真，解得【解析】通过不等式恒成立求出p中m的范围；椭圆的焦点在x轴上求出m的范围，利用命题pq为真命题，求出m的交集即可18.【答案】解：(1)由频率分布表可得第4组的频率为：1-0.05-0.225-0.35-0.075=0.3a=0.03，n=120.(2)由分层抽样的特点可得：第一组应抽0.0540=2个，第五组应抽0.07540=3个(3)设第一组抽到的2个分数记作A1，A2，第五组的3个记作B1，B2，B3从这两组中抽取2个有A1A2，A1B1，A1B2
19、，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种，其中平均分不低于70分的有9种，故所求的概率为：P=.【解析】本题考查频率分布直方图，分层抽样，和古典概型计算公式，属于基础题.(1)由频率分布表各频率和为1的特点易得第4组的频率，进而可得a和n的值；(2)利用分层抽样的特点进行求解；(3)由(2)可知第一组，第五组分别抽到的2个分数，3个分数，分别记作A1，A2，和B1，B2，B3由列举法可得答案19.【答案】解：（1）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，=0.5，=-=4.3-0.
20、54=2.3y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（2）由（1）知，b=0.50，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.59+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元【解析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程 （2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值 本题考查线性回归分
21、析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题20.【答案】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160169之间，而乙班身高集中于170180之间因此乙班平均身高高于甲班（2），甲班的样本方差为：（158-170）2+（162-170）2+（163-170）2+（168-170）2+（168-170）2+（170-170）2+（171-170）2+（179-170）2+（179-170）2+（182-170）2=57.2（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（1
22、81，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）（178，176）（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件（12分）【解析】本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键21.【答案】解：（）由题意，解得a=，c=1即椭圆方程为=1.（）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，此时S=,不符合
23、题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以|AB|=原点到直线的AB距离d=，所以三角形的面积S=由S=可得k2=2，k=，所以直线AB：=0或AB：=0【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键（）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（）当直线AB与x轴垂直时，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消
24、去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程22.【答案】解：(1)依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由|FB|=2，得，即，故又 b=2，a2=12，从而可得椭圆方程为(2)由题意可设直线l的方程为y=kx-3(k0)，由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，由消去y得x2+3(kx-3)2=12，即可得方程(1+3k2)x2-18kx+15=0(*) 当方程 (*)的=(-18k)2-4(1+3k2)15=144k2-600 即时方程(*)有两个不相等的实数根设M (x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，则x1，x2是方程(*)的两个不等的实根，故有从而有，于是，可得线段MN的中点P的坐标为 又由于k 0，因此直线AP的斜率为，由AP MN，得，即5+6k2=9，解得，综上可知存在直线l：满足题意【解析】(1)直接根据条件得到以及b=2；求出a2=12即可得到椭圆的方程； (2)设直线l的方程为y=kx-3(k0)，由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上；联立直线方程和椭圆方程得到k的屈指范围以及点M，N的坐标和k的关系，结合点A在线段MN的垂直平分线对应的斜率相乘等于-1即可求出结论
