1、1.2 命题及充要条件一、填空题1命题：“若x22，则|x|”的逆否命题是_解析“若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”答案若|x|，则x222.若集合A=1,sin,B=,则”是”的_条件解析 ,但不能推出. 答案 充分不必要3 “|x1|2成立”是“x(x3)0成立”的_条件解析设Ax|x1|2x|1x3，Bx|x(x3)0x|0x3，因为BA，所以应填必要不充分条件答案必要不充分4设x，yR那么“xy0”是“1”的_条件解析由10xy0或xy0.因此“xy0”能推断“1”，反之不成立答案充分不必要5.设a,b是向量,命题”若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是_. 解析 逆命题是以原命
2、题的结论为条件,条件为结论的命题, 这个命题的逆命题为:若|a|=|b|,则a=-b. 答案 若|a|=|b|,则a=-b 6已知a，bR，则“log3alog3b”是“ab”的_条件解析log3alog3bab0ab，但abab，不一定有ab0.答案充分不必要7在锐角ABC中，“A”是“sin A”成立的_条件解析因为ABC是锐角三角形，所以Asin A.答案充要8a，b是非零向量，“函数f(x)(axb)2为偶函数“是ab”的_条件解析因为a，b是非零向量，所以f(x)a2x22abxb2是偶函数的充要条件是ab0，即ab.答案充要条件9设p：x2x200，q：0，则p是q的_条件解析p：
3、x2x200x4或x5.q：0或x2或1x1或x2，则pq，q/p，p是q的充分不必要的条件答案充分不必要条件10已知p：x1，q：(xa)(xa1)0，若p是非q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析 q：xa1或xa，从而非q：axa1.由于p是非q的充分不必要条件，故即0a.答案 11设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的_条件解析an为等比数列，ana1qn1，由a1a2a3，得a1a1q0，q1或a10,0q1，则数列an为递增数列反之也成立答案充分必要12. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即5nk|nZ，k0,1,2,
4、3,4.给出如下四个结论：2011；3；Z；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab”其中，正确结论的个数是_解析 因为201154021，则2011，结论正确；因为35(1)2，则3，结论不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z，结论正确；若整数a，b属于同一“类”，可设a5n1k，b5n2k(n1，n2Z)，则ab5(n1n2)；反之，若ab，可设a5n1k1，b5n2k2(n1，n2Z)，则ab5(n1n2)(k1k2)；k1k2，则整数a，b属于同一“类”，结论正确答案 313记实数x1，x2，xn中的最大数为maxx1，x2，xn，最小数为minx1，x2，
5、xn已知ABC的三边长为a，b，c(abc)，定义它的倾斜度为lmaxmin，则“l1”是“ABC为等边三角形”的_条件解析若ABC为等边三角形，则max1，min1，l1.令ab4，c5，则max，min，所以l1.答案必要而不充分二、解答题14.已知函数f(x)在上是增函数,a、R,对命题:”若则f(-b)”.写出逆命题、逆否命题,判断真假,并证明你的结论. 解析 先证原命题:”若则f(-a)+f(-b)”为真. 故其逆否命题:”若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0”也为真. 再证否命题”若a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”为真. f(b)1；命题r：
6、x|ax2a若记以上3个命题中x的取值构成的集合分别为A，B，C，由于r是p的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件，所以有ACB，结合数轴应有解得5a6，即a的取值范围是5a6.16已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR.若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)问：这个命题的逆命题是否成立，并给出证明解析逆命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0”该命题是真命题，证明如下：法一(利用原命题的逆命题与否命题等价证明)：若ab0，则ab，ba，因为f(x)是(，)上的增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，因此f(a)f
7、(b)f(a)f(b)，因为原命题的逆命题与它的否命题等价，所以该命题正确法二(用反证法给出证明)：假设ab0，则ab，ba，因为f(x)在(，)上的增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，因此f(a)f(b)f(a)f(b)，这与条件f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，该命题正确17已知a0，设p：不等式x22axa0的解集为，q：不等式x|x2a|1的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围解析“x22axa0的解集为”等价于“x22axa0的解集为R”，所以当p成立，4a24a0，解得0a1.又a0，0a1“不等式x|x2a|1的解集为R”等价于：法一函数yx|x2
8、a|在R上的最小值为1.x|x2a|函数yx|x2a|在R上的最小值为2a，于是由2a1，得a.法二|x2a|1x恒成立，即y|x2a|的图象恒在y1x图象的上方，如图所示，得2a1，所以a.如果p正确q不正确，则0a；如果p不正确q正确，则a1.a的取值范围是(1，)18在等比数列an中，前n项和为Sn，若Sm，Sm2，Sm1成等差数列，则am，am2，am1成等差数列(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明解析(1)逆命题：在等比数列an中，前n项和为Sn，若am，am2，am1成等差数列，则Sm，Sm2，Sm1成等差数列(2)设数列an的首项为a1，公比为q.由题意知，2am2amam1，即2a1qm1a1qm1a1qm.因为a10，q0，所以2q2q10，解得q1或q.当q1时，有Smma1，Sm2(m2)a1，Sm1(m1)a1.显然：2Sm2SmSm1，此时逆命题为假当q时，有2Sm2a1，SmSm1a1，故2Sm2SmSm1，此时逆命题为真综上所述，当a1时，逆命题为假；当q时，逆命题为假