1、课时分层作业(二十五)球的表面积和体积(建议用时：40分钟)一、选择题1如果三个球的半径之比是123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A倍B倍C2倍D3倍B设小球半径为1，则大球的表面积S大36，S小S中20，.2把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为()A3 cmB6 cm C8 cmD12 cmD由R36383103，得R31 728，检验知R12.3将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A2B3 C4D6B由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S124123.
2、4将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为()A B CD4B根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r1，所以Vr3.5已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B C DB设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr2h1.故选B二、填空题6若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为_3设此球的半径为R，则4R2R3，R3.7如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为_33
3、由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S4323533.8如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.三、解答题9某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解该组合体的表面积S4r22rl41221310.该组合体的体积Vr3r2l13123.10已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB18，BC
4、24，AC30，求球的表面积和体积解因为ABBCAC182430345，所以ABC是直角三角形，B90.又球心O到截面ABC的投影O为截面圆的圆心，也是RtABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O的直径(如图所示)，设OCr，OCR，则球半径为R，截面圆半径为r，在RtOCO中，由题设知sinOCO，所以OCO30，所以cos 30，即Rr，(*)又2rAC30r15，代入(*)得R10.所以球的表面积为S4R24(10)21 200.球的体积为VR3(10)34 000. 11.如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为()A24B28C
5、32 D36C由题意知球的半径R4，所以球的表面积为4R264.设圆柱的底面半径为r，高为h，则r242，得4r2h264，即h2644r2，所以圆柱的侧面积S2rh2244(0r4)，所以当r28，即r2时，圆柱的侧面积最大，最大值为32.此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是643232.12如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为()A43B31C32D94C作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h3R，圆锥底面半径rR，则l2R，所以 .13在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球. 若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最
6、大值是_. 当球的半径最大时，球的体积最大在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为ABBC，AB6，BC8，所以AC10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r2，直径为4侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V.14将一个底面圆的直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A(1)求面积A以x为自变量的函数关系式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值解(1)横截面如图长方形所示，由题意得Ax(0x2)(2)V1x，由上述知0x2，所以当x时，Vmax2.即截得棱柱的体积的最大值为2.15如图是某几何体的三视图(1)求该几何体外接球的体积；(2)求该几何体内切球的半径解(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，以DC，DB，DA为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R，所以该几何体外接球的体积VR3.(2)设内切球的球心为O，半径为r，则VABCDVOADBVOADCVODCBVOABC即22122r2r2r2r，得r.所以该几何体内切球的半径为.