1、温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是 ()A.(3,+)B.(-,-2)C.(3,+)(-,-2)D.(3,+)(-6,-2)【解析】选D.本题考查焦点在不同坐标轴上的椭圆方程的特征.由于椭圆的焦点在x轴上,所以即解得a3或-6a0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.mC.3D
2、.3m【解析】选A.双曲线方程为-=1,焦点F到一条渐近线的距离为.4.已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共点,若F1PF2=,则e等于()A.B.C.D.3【解题指南】在F1F2P中利用余弦定理列方程,然后利用定义和已知条件消元.【解析】选C.设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c,|PF1|=m,|PF2|=n,且不妨设mn,由m+n=2a1,m-n=2a2得m=a1+a2,n=a1-a2.又F1PF2=,所以4c2=m2+n2-mn=+3,所以+=4,即+=4,解得e=.【补偿训练】已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为
3、一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.依题意,椭圆的焦距和短轴长相等,即b=c,所以a2-c2=c2,得e=.故选D.5.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则PF1F2的面积等于()A.4B.8C.24D.48【解析】选C.由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,所以c=5,所以|F1F2|=10,所以PF1F2为直角三角形,=|PF1|PF2|=24.【拓展延伸】圆锥曲线中的
4、焦点三角形问题解法(1)PF1F2由两焦点和曲线上一点形成,我们把这种三角形叫焦点三角形.焦点三角形问题的主要类型有:周长、面积、角度等,通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.(2)焦点三角形的面积主要有两种求法:=r1r2sinF1PF2和=2c|yP|.(3)涉及焦点、顶点、曲线上点(顶点以外)等问题,抓住几个特征三角形,举一反三.这是一个考查重点,容易出现离心率的值(或范围)的运算.6.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为30.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于10,则曲线C2的标准方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.+=1【解
5、析】选B.由题意知在椭圆C1中,=,2a=30,所以a=15,c=7,曲线C2是双曲线,2a1=10,c=7,所以b2=c2-=72-52=24,所以双曲线C2的标准方程为-=1.7.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值等于()A.2B.-2C.D.-【解析】选D.设l:y=k1(x+2),将y=k1(x+2)代入x2+2y2=2,得(1+2)x2+8x+8-2=0,设中点为P(x0,y0),则x0=,y0=k1(x0+2)=,所以k2=-,所以k1k2=-.8.P是双曲
6、线-=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1的圆心(-5,0),(5,0)为双曲线的左右焦点,分别设为点F1,F2,对于双曲线-=1的右支上一点P,M是圆(x+5)2+y2=4上的动点,|PM|的最大值为|PF1|+2,N是圆(x-5)2+y2=1上的动点,|PN|的最小值为|PF2|-1,所以|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3,因为点P在双曲线-=1的右支上,所以|PF
7、1|-|PF2|=2a=6,所以|PM|-|PN|的最大值为9.9.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合,且其渐近线方程为y=x,则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.抛物线的焦点坐标为(5,0),双曲线焦点在x轴上,且c=5,又渐近线方程为y=x,可得=,所以a=3,b=4.10.已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ()A.(1,2B.(1,2)C.2,+)D.(2,+)【解析】选C.如图所示,要使过点F且倾斜角为60的直
8、线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率,所以,离心率e2=4,所以e2.11.设双曲线-=1(a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于()A.B.2C.D.【解析】选C.双曲线-=1的渐近线方程为y=x.因为y=x2+1与渐近线相切,故x2+1x=0只有一个实根,所以-4=0,所以=4,所以=5,所以e=.12.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设动圆的半径为r,则|M
9、C1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若椭圆的两焦点与短轴的两端点在单位圆上,则椭圆的内接正方形的边长为_.【解析】不妨设椭圆的方程为+=1(ab0),依题意得b=c=1,a=,则椭圆的方程为+y2=1,设椭圆的内接正方形在第一象限的顶点坐标为(x0,y0),代入椭圆方程,得x0=,所以正方形边长为.答案:14.已知圆M:x2+(y-2)2=1,直线l:y=-1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心P
10、的轨迹为E.点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且=-16,则直线AB恒过定点,这个定点的坐标为_.【解析】设P(x,y),则=(y+1)+1x2=8y.所以E的方程为x2=8y.易知直线AB的斜率存在,设直线AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2).将直线AB的方程代入x2=8y中,得x2-8kx-8b=0,所以x1+x2=8k,x1x2=-8b.=x1x2+y1y2=x1x2+=-8b+b2=-16b=4,所以直线AB恒过定点(0,4).答案:(0,4)15.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆的离心率的取值范围是_.【解析】因为=0,所以M
11、F1MF2.假设椭圆在坐标轴正方向上的短轴端点B,则F1BF2即椭圆上点与椭圆焦点夹角的最大值,由M在椭圆内部,所以F1BF2c,所以b2=a2-c2c2,所以e2,即0eb0)的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部,则椭圆的离心率e的取值范围为_.【解析】由已知得两焦点为(c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,c)均在椭圆内部,则1,得1,1,解得0eb10),双曲线方程为-=1(a20,b20),因为c=3,由已知得解得故两曲线的方程分别为+=1,-=1.(2)设F1PF2=,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos =|F1F2|2=108,由椭圆的定义
12、得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=196,由双曲线的定义得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36,综合得cos =.19.(12分)已知点F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF2=60.(1)求椭圆C的离心率.(2)已知AF1B的面积为40,求a,b的值.【解析】(1)由题意知AF1F2为正三角形,a=2c,e=.(2)直线AB的方程为y=-(x-c),(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0.由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.代入中得5x2-
13、8cx=0,x=0或x=,得A(0,c),B,得|AB|=.由AF1B的面积为40,得|AB|AF1|sin 60=40,a=40,解得c=5,a=10,b=5.20.(12分)如图,设点A,B的坐标分别为(-,0),(,0),直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积为-.(1)求点P的轨迹方程.(2)设点P的轨迹为C,点M,N是轨迹C上不同于A,B的两点,且满足APOM,BPON,求证:MON的面积为定值.【解析】(1)由已知设点P的坐标为(x,y),由题意知kAPkBP=-(x),化简得P的轨迹方程为+=1(x).(2)由题意M,N是椭圆C上非顶点的两点,且APOM,BPON,则直线AP
14、,BP斜率必存在且不为0,又由已知kAPkBP=-.因为APOM,BPON,所以kOMkON=-.设直线MN的方程为x=my+t,代入椭圆方程+=1,得(3+2m2)y2+4mty+2t2-6=0.设M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=,又kOMkON=,所以=-,得2t2=2m2+3,又SMON=|t|y1-y2|=,所以SMON=,即MON的面积为定值.21.(12分)(2019全国卷)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求M的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|
15、MA|-|MP|为定值?并说明理由.【解析】(1)因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为M与直线x+2=0相切,所以M的半径r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,
16、0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.22.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知F1,F2分别是椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,D(1,0)为线段OF2的中点,且+5=0.(1)求椭圆E的方程.(2)若M为椭圆E上的动点(异于点A,B),连接MF1并延长交椭圆E于点N,连接MD,ND并分别延长交椭圆E于点P,Q,连接PQ,设直线MN,PQ的斜率存在且分别为k1,k2.试问是否存在常数,使得k1+k2=0恒成立?若存在,求出的值;若不存
17、在,说明理由.【解析】(1)因为+5=0,所以=5,即a+c=5(a-c),化简得2a=3c,点D(1,0)为线段OF2的中点,所以c=2,从而a=3,b=,左焦点F1(-2,0),故椭圆E的方程为+=1.(2)存在满足条件的常数,=-.设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),则直线MD的方程为x=y+1,代入椭圆方程+=1,整理得,y2+y-4=0,则y1+y3=,所以y3=,从而x3=,故点P,同理,点Q,因为三点M,F1,N共线,所以=,从而x1y2-x2y1=2(y1-y2),从而k2=,故k1-=0,从而存在满足条件的常数,=-.关闭Word文档返回原板块