1、专题02 常用逻辑用语考点1：充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件题型一：充分条件的判断 例1 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(2)已知x，yR，p：x3，q：(x3)(x4)0；(3)已知xR，p：x5，q：x6.解 (1)四边形是矩形能够推出四边形的对角线相等，所以p是q的充分条件(2)由x3(x3)(x4)0，故p是q的充分条件
2、(3)方法一 由x5x6，所以p不是q的充分条件方法二 设集合Ax|x5，Bx|x6，所以BA，所以p不是q的充分条件变式 “a2+b2=0”是“a+b=0”的_条件答案 充分解析 a2+b2=0，则a=b=0，所以，a+b=0，故“a2+b2=0”是“a+b=0”的充分条件题型二：必要条件的判断 例2 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：两三角形全等，q：两三角形相似；(2)p：AB，q：ABA；(3)p：ab，q：ac2bc2解 (1)因为若两三角形全等，则必然相似，所以q是p的必要条件(2)因为pq，所以q是p的必要条件(3)因为c可能等于0，pq，所以q不是p的必要条件变式
3、指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：A和B是对顶角，q：AB；(2)p：x216，q：x4.解 (1)因为对顶角相等，所以pq，所以q是p的必要条件(2)因为当x216时，x4或x4，所以pq，所以q不是p的必要条件题型三：充分条件与必要条件的应用例3 已知Mx|a1xa+1，Nx|3x8，若M是N的充分但不是必要条件，求a的取值范围解：M是N的充分但不是必要条件， ，又a1=3与a+1=8不可能同时成立，即不可能出现M=N故a的取值范围是变式 已知Px|a4xa4，Qx|1x0，q：x0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；(4)
4、p：ABA，q：UBUA.解 (1)p：x20，则x0或x0，故p是q的必要不充分条件(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件(4)ABAABUBUA，p是q的充要条件题型二：充分、必要、充要条件的的判断 例2 设a，b，c为ABC的三边，求证：方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.证明 必要性：设方程x22axb20与x22cxb20有公共根x0，则x2ax0b20，x2cx0b20.两式相减，得x0，将此
5、式代入x2ax0b20，可得b2c2a2，故A90.充分性：A90，b2a2c2.将代入方程x22axb20，可得x22axa2c20，即(xac)(xac)0.将代入方程x22cxb20，可得x22cxc2a20，即(xca)(xca)0.故两方程有公共根x(ac)方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.变式 求证：一次函数ykxb(k0)的图象过原点的充要条件是b0.证明 充分性：如果b0，那么ykx，当x0时，y0，函数图象过原点必要性：因为ykxb(k0)的图象过原点，所以当x0时，y0，得0k0b，所以b0.综上，一次函数ykxb(k0)的图象过原点的充要条
6、件是b0.题型三：充要条件的应用 例3 已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围解 p：2x10，q：1mx1m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|0m3变式 已知当a0时，设p：3axa，q：x4或x2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解 设Ax|3axa，a0，Bx|x4或x2因为p是q的充分不必要条件，所以AB，a4或3a2，即a4或a.又a0，a4或a0，即实数a的取值范围为a4或a0.考点2练习：1.设a，b，c分别是A
7、BC的三条边，且abc，则“a2b2c2”是“ABC为直角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 a2b2c2ABC为直角三角形，故选C.答案 C2.已知p：2x2，q：1x2，则p是q的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 p：2x2.q：1x2.x|1x2x|2x1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当x1且y1时，xy2，所以充分性成立；令x1，y4，则xy2，但x1，所以必要性不成立，所以p是
8、q的充分不必要条件.故选A.答案 A4.使“x”成立的一个充分不必要条件是( )A.x0 B.x2C.x1，3，5 D.x或x3解析 选项中只有x1，3，5是使“x”成立的一个充分不必要条件.答案 C5.“x1”是“xx|xa”的充分条件，则实数a的取值范围为( )A.a B.aC.a1 D.a1解析 由题意，1是x|xa的子集，a1.故选D.答案 D二、填空题6.p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形全等，则p是q的_条件.解析 p是q的充要条件.答案 充要7.一次函数ykxb(k0)的图象不过第三象限的充要条件是_.解析 如图所示，要使一次函数ykxb(k0)不过第三象限，则需k0
9、且b0.答案 k1”是“1，则1，反之要1，当a1.答案 充分不必要三、解答题9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).(1)p：x30，q：(x2)(x3)0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：ab，q：acbc.解 (1)x30(x2)(x3)0，但(x2)(x3)0/ x30，故p是q的充分不必要条件.(2)两个三角形相似/ 两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件；(3)abacbc，且acbcab，故p是q的充要条件.10.不等式3xa0成立的充要
10、条件为x2，求a的值.解 3xa0化为x.由题意x|x2，所以2，a6.考点3：全称量词与存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”题型一: 全称量词命题与存在量词命题的识别例1判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题(1)对任意xx|x1,3x40成立；(2)对所有实数a，b，方程axb0恰有一个解；(3)有些整数既能
11、被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形解(1)全称量词命题，表示为xx|x1,3x40.(2)全称量词命题，表示为a，bR，方程axb0恰有一解(3)存在量词命题，表示为xZ，x既能被2整除，又能被3整除(4)存在量词命题，表示为xy|y是四边形，x不是平行四边形变式 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题(1)凸多边形的外角和等于360；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|ab|a|b|；(5)方程3x2y10有整数解解(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称量词命题(2)可以改为所
12、有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题(5)可改写为存在一对整数x，y，使3x2y10成立故为存在量词命题题型二: 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2判断下列命题的真假(1)xZ，x30.解(1)因为1Z，且(1)311，所以“xZ，x30”是假命题变式 试判断下列命题的真假：(1)xR，x212；(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；(3)存在一对整数x，y，使得2x4y6.解(1)取x0，则x2112，所以“xR，x212”是假命题(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该
13、命题为假命题(3)取x3，y0，则2x4y6，故为真命题题型三: 依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命题p：“xB，xA”是真命题，求m的取值范围解由于命题p：“xB，xA”是真命题，所以BA，B，所以解得2m3.变式 若命题“xR，x24xa0”为真命题，求实数a的取值范围解命题“xR，x24xa0”为真命题，方程x24xa0存在实数根，则(4)24a0，解得a4.考点3练习： 一、选择题1.下列命题：中国公民都有受教育的权利；每一个中学生都要接受爱国主义教育；有人既能写小说，也能搞发明创造；任何正方形都是平行四边形.其中全称量词命题的
14、个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析命题都是全称量词命题.答案C2.下列命题中存在量词命题的个数是()有些自然数是偶数；正方形是菱形；能被6整除的数也能被3整除；对于任意xR，总有|x|0.A.0 B.1 C.2 D.3解析命题含有存在量词；命题可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题是全称量词命题.故有一个存在量词命题.答案B3.已知命题p：xR，x24xa0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A.0a4C.a0 D.a4解析p是假命题，方程x24xa0没有实数根，即164a4.答案B4.下
15、列四个命题：一切实数均有相反数；aN，使得方程ax10无实数根；梯形的对角线相等；有些三角形不是等腰三角形.其中，真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析为真命题；对于，当a0时，方程ax10无实数根；对于，等腰梯形的对角线相等，故错误；为真命题.答案C5.下列全称量词命题中真命题的个数为()对于任意实数x，都有x2x；对任意的实数a，b，都有若|a|b|，则a2b2成立；二次函数yx2ax1与x轴恒有交点；xR，yR，都有x2|y|0.A.1 B.2 C.3 D.4解析为真命题.答案C二、填空题6.给出下列三个命题：xR，x210；矩形都不是梯形；x，yR，x2y21.其中全称量
16、词命题是_(填序号).解析省略了量词“所有的”.答案7.对任意x3，xa恒成立，则实数a的取值范围是_.解析对任意x3，xa恒成立，即大于3的数恒大于a，a3.答案a38.试判断下列全称量词命题的真假：xR，x220；xN，x41；对任意x，y，都有x2y20.其中真命题的个数为_.解析由于xR，都有x20，因而有x2220，即x220，所以命题“xR，x220”是真命题.由于0N，当x0时，x41不成立，所以命题“xN，x41”是假命题.当xy0时，x2y20，所以是假命题.答案1三、解答题9.试判断下列全称量词命题的真假：(1)xR，x212；(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
17、(3)每个二次函数都有最小值.解(1)取x0，则x2112，所以“xR，x212”是假命题.(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.(3)对于yax2bxc，当a0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.10.判断下列存在量词命题的真假：(1)xZ，x31；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)存在一对整数x，y，使得2x4y6.解(1)1Z，且(1)311，“xZ，x31”是真命题；(2)真命题，如梯形；(3)取x3，y0，则2x4y6，故为真命题.考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定pp结论全称量词命题xM，p(x)xM，p(x)全称量词命题
18、的否定是存在量词命题存在量词命题xM，p(x)xM，p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题题型一: 全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定(1)所有分数都是有理数；(2)所有被5整除的整数都是奇数；(3)xR，x22x10.解(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数(3)xR，x22x10.变式 写出下列全称量词命题的否定：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x120的根；(3)对任意实数x，x210.解(1)p：有些自然数的平方不是正数(2)p：存在实数x不是方程5x120的根(3)p：存在实数x，使得x210.当
19、ab0时，a2b20，命题的否定是假命题题型三:全称量词命题与存在量词命题的综合应用例3已知命题p：xR，不等式x24x1m恒成立求实数m的取值范围解令yx24x1，xR，则y(x2)255，因为xR，不等式x24x1m恒成立，所以只要m5即可所以所求m的取值范围是m|m5变式 已知命题p：xx|3x2，都有xx|a4xa5，且p是假命题，求实数a的取值范围解因为p是假命题，所以p是真命题，又xx|3x2，都有xx|a4xa5，所以x|3x2x|a4xa5，则解得3a1，即实数a的取值范围是3a1.考点4练习： 一、选择题1.命题“xR，|x|x20”的否定是()A.xR，|x|x20 B.x
20、R，|x|x20C.xR，|x|x20 D.xR，|x|x20解析此全称量词命题的否定为：xR，|x|x20.答案C2.下列命题中，为真命题的全称量词命题是()A.对任意的a，bR，都有a2b22a2b20)，y随x的增大而增大解析A中含有全称量词“任意”，因为a2b22a2b2(a1)2(b1)20，是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是存在量词命题，所以选D.答案D3.命题“x0，x2x1”的否定是()A.x0，x2x1B.x0，x2x1C.x0，x2x1D.x0，x2x1解析存在量词命题的否定是全称量词命题.答案A4.下列存在量词命题是
21、假命题的是()A.存在实数a，b，使ab0B.有些实数x，使得|x1|1C.有些直角三角形，其中一条直角边长度是斜边长度的一半D.有些实数x，使得x20 B.xN*，(x1)20C.xR，|x|0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x1时，(x1)20，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x0时，|x|0，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x1时，12，故是真命题.答案B二、填空题6.命题“任意xR，3x0”的否定是_.解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故“任意xR，3x0”的否定是“存在xR，3x0”.答案存在xR，3x3”的否定是_.解析由定义知命题的否定为“存在xR，
22、使得|x2|x4|3”.答案存在xR，使得|x2|x4|38.命题“每个函数都有最大值”的否定是_.解析命题的量词是“每个”，即为全称量词命题，因此其否定是存在量词命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填：有些函数没有最大值.答案有些函数没有最大值三、解答题9.写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20.解(1)p：xR，x2x0，假命题.xR，x2x0，p是假命题.(2)q：有的正方形不是矩形，假命题.(3)r：xR，x22x20，真命题.xR，x22x2(x1)2110，r是真命题.10.写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：2的平方是正数；(2)p：实数的平方都是正数；(3)p：0.解(1)p：2的平方不是正数，假命题.(2)p：实数的平方不都是正数，真命题.(3)p：0，真命题.