1、专题07 立体几何一、选择题1(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A B C DB【解析】过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为，底面圆的直径为，所以该圆柱的表面积为故选B2(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A B C D2B【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长16画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接，
2、则，则从到的路径中，最短路径的长度为故选B图 图3(2018全国卷)在长方体中，与平面所成的角为，则该长方体的体积为ABCDC【解析】连接，因为平面，所以，所以为直角三角形又，所以，又，所以。故该长方形的体积4(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A5(2018全国卷)设，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面
3、积为，则三棱锥体积的最大值为ABCDB【解析】设等边三角形的边长为，则，得设的外接圆半径为，则，解得，所以球心到所在平面的距离，则点到平面的最大距离，所以三棱锥体积的最大值故选B6(2018浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是A2 B4 C6 D8C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积故选C7(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A1 B2 C3 D4C【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，易知，平面，故，为
4、直角三角形，平面，平面，又，且，平面，又平面，为直角三角形，容易求得，故不是直角三角形，故选C解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B C DB【解析】圆柱的轴截面如图，所以圆柱底面半径，那么圆柱的体积是，故选B9某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A60 B30 C20 D10D【解析】借助立方体可知所求三棱锥为下图粗线部分该几何体的体积为选D10某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是A B
5、C D A【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥组成（如图），其体积为：选A11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A B C DB【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B12(2018全国卷)在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A B C DC【解析】如图，连接，因为，所以异面直线与所成角等于相交直线与所成的角，即不妨设正方体的棱长为2，则，由勾股定理得，又由平面，可得，所以，故选C13(2018浙江)已知平面，直
6、线，满足，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件A【解析】若，由线面平行的判定定理知若，不一定推出，直线与可能异面，故“”是“”的充分不必要条件故选A14如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是A【解析】由正方体的线线关系，易知B、C、D中，所以平面， 只有A不满足15在正方体中，为棱的中点，则A B C DC【解析】如图，连结，易知平面，所以，又，所以平面，故，选C16平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的
7、正弦值为A B C DA【解析】因为过点的平面与平面平行，平面平面，所以，又平面，所以，则与所成的角为所求角，所以，所成角的正弦值为，选A17已知互相垂直的平面 交于直线l若直线m，n满足m，n，则AmlBmnCnlDmnC【解析】选项A，只有当或时，；选项B，只有当时；选项C，由于，所以；选项D，只有当或时，故选C18已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，且，则 D若，且，则【答案】D【解析】若，则或与异面或与相交，故选项错误；若，则与可能相交，故选项错误；若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误；， 或，又 ，故选项正确.本题正确选项：1
8、9已知直线，平面，下列结论中正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】解：错，直线垂直平面内两条相交直线才垂直平面，缺少条件直线，相交；错，平面外一条直线平行平面内一条直线才平行于平面，缺少条件；错，两个平面垂直，一个平面内的直线可能平行，相交，垂直于另外一个平面对，直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另外一个平面故选：20在三棱锥中，则三棱锥外接球的体积是（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，易知三棱锥是正三棱锥，取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心.因为，所以.因为，所以.设三棱锥外接球的半径为，则，解得，故三棱锥外接球的体积是.故选B.二、填空题2
9、1(2018天津)如图，已知正方体的棱长为1，则四棱锥的体积为_【解析】解法一 连接，交于点，则，则 平面，所以为四棱锥的高，且，矩形的长和宽分别为，1，故解法二 连接，则四棱锥分成两个三棱锥和22(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是，则该正八面体的体积为23已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径若平面平面，三棱锥的体积为9，则球的表面积为_【解析】取的中点，连接，因为，所以因为平面平面，所以平面设，所以，所以球的表面积为24长方体的长、宽、高分
10、别为3，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 【解析】球的直径是长方体的体对角线，设球的半径为，所以25已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 【解析】设正方体边长为，则 ，外接球直径为.26由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以27如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱的体积为，球的体积为，则 的值是 【解析】设球的半径为，则28某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_【解析】通过俯视
11、图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积，通过侧视图可知四棱柱的高，所以该四棱柱的体积29某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是_cm2体积是_cm380；40【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，30(2018全国卷)已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_【解析】由题意画出图形，如图，设是底面圆的直径，连接，则是圆锥的高，设圆锥的母线长为，则由，的面积为8，得，得，在中，由题意知，所以，故该圆锥的体积31如图，圆锥的母线长为，轴截面的顶角，则过此圆锥的项点作该圆锥的任意截面，则面积的最大值是_
12、；此时_.【答案】 【解析】设顶角，则轴截面的面积，截面的面积为在三角形和三角形中，所以所以当时，.因此截面面积的最大值是，此时，因为，所以故答案为：；32如图，已知正方体的棱长为2，E、F、G分别为的中点，给出下列命题：异面直线EF与AG所成的角的余弦值为；过点E、F、G作正方体的截面，所得的截面的面积是；平面三棱锥的体积为1其中正确的命题是_（填写所有正确的序号）【答案】【解析】取的中点为点H，连接GH、AH，如图1所示，因为,所以就是异面直线EF与AG所成的角易知在中，所以，正确；图1 图2 图3矩形即为过点E、F、G所得正方体的截面，如图2所示，易知,所以，错误；分别以DA、DC、DD
13、1为x轴、y轴、z轴建立如图3所示直角坐标系,则，因为，所以，又平面，平面且，所以平面，故正确，正确.故答案为：三、解答题33(2018全国卷)如图，在平行四边形中，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且(1)证明：平面平面；(2)为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥 的体积【解析】(1)由已知可得，=90，又，所以平面又平面，所以平面平面(2)由已知可得，又，所以作，垂足为，则由已知及(1)可得平面，所以平面，因此，三棱锥的体积为34如图，在四棱锥中，且(1)证明：平面平面；(2)若，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积【解析】（1）由已知，得，由于，故，从而平面又平面，所以平面平面（2）
14、在平面内作，垂足为由（1）知，平面，故，可得平面设，则由已知可得，故四棱锥的体积由题设得，故从而，可得四棱锥的侧面积为35（2018全国卷）如图，在三棱锥中，为的中点(1)证明：平面；(2)若点在棱上，且，求点到平面的距离【解析】(1)因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且，由知，由，知平面(2)作，垂足为又由(1)可得，所以平面故的长为点到平面的距离由题设可知，所以，所以点到平面的距离为36（2018全国卷）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点(1)证明：平面平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由【解析】(1)由题设知，平面平面，交线为因为，
15、平面，所以平面，故因为为上异于，的点，且为直径，所以 又=，所以平面而平面，故平面平面(2)当为的中点时，平面证明如下：连结交于因为为矩形，所以为中点连结，因为为 中点，所以平面，平面，所以平面37（2018北京）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，=，分别为，的中点(1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)求证：平面【解析】(1)，且为的中点，底面为矩形，(2)底面为矩形，平面平面，平面又，平面，平面平面(3)如图，取中点，连接分别为和的中点，且四边形为矩形，且为的中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面38（2018天津）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，
16、(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值【解析】(1)由平面平面，平面平面=，可得平面，故(2)取棱的中点，连接，又因为为棱的中点，故所以（或其补角）为异面直线与所成的角在中，故因为平面，故在中，故在等腰三角形中，可得所以，异面直线与所成角的余弦值为(3)连接因为为等边三角形，为边的中点，故，又因为平面平面，而平面，故平面所以，为直线与平面所成的角在中，在中，所以，直线与平面所成角的正弦值为39(2018江苏)在平行六面体中，求证：(1)平面；(2)平面平面【证明】(1)在平行六面体中，因为平面，平面，所以平面(2)在平行六面体中，四边形为平行四边形又因
17、为，所以四边形为菱形，因此又因为，所以又因为=，平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面40(2018浙江)如图，已知多面体，均垂直于平面，(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值【解析】(1)由，得，所以故由，得，由，得，由，得，所以，故因此平面(2)如图，过点作，交直线于点，连结由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角由，得，所以，故因此，直线与平面所成的角的正弦值是41如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，(1)证明：直线平面；(2)若的面积为，求四棱锥的体积。【解析】（1）在平面内，因为，所以，又平面，平面，故平面（2）取的中点，连结，由及，得四边形正方形
18、，则因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面=，所以，底面因为底面，所以设，则，取的中点，连结，则，所以因为的面积为，所以，解得（舍去），于是，所以四棱锥的体积42如图，四面体中，是正三角形，(1)证明：；(2)已知是直角三角形，若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比【解析】（1）取的中点连结，.因为，所以又由于是正三角形，所以.从而平面，故BD.（2）连结由（1）及题设知，所以在中，又，所以，故.由题设知为直角三角形，所以又是正三角形，且，所以故为BD的中点，从而到平面的距离为到平面的距离的，四面体的体积为四面体的体积的，即四面体与四面体的体积之比为1:143如图，在四棱锥中，
19、平面，（）求异面直线与所成角的余弦值；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【解析】（）如图，由已知AD/BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD在RtPDA中，由已知，得，故所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为（）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD又因为BC/AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC（）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角由于AD/BC，DF/A
20、B，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为44由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面，（）证明：平面；（）设是的中点，证明：平面平面【解析】（）取中点,连接，由于为四棱柱,所以，因此四边形为平行四边形,所以,又面,平面,所以平面,（），分别为和的中点，又平面，平面，所以，所以，又，平面，所以平面又平面,所以平面平面45如图，在三棱锥中，为线段的中点，为线段上一点（）求证：；（）求证：平面平面；（）当平面时，求三棱锥的体积【解析】（）因
21、为，所以平面，又因为平面，所以（）因为，为中点，所以，由（）知，所以平面所以平面平面（）因为平面，平面平面，所以因为为的中点，所以，由（）知，平面，所以平面所以三棱锥的体积46如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【解析】（）如图，设PA中点为F，连结EF，FB因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且，又因为BCAD，所以EFBC且EF=BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF，因此CE平面PAB（）分别取BC，AD的中点为M，N连结PN交EF于点Q，连结MQ因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点
22、，在平行四边形BCEF中，MQCE由为等腰直角三角形得PNAD由DCAD，N是AD的中点得BNAD所以 AD平面PBN，由BCAD得 BC平面PBN，那么，平面PBC平面PBN过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MHMH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD=1在中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在PBN中，由PN=BN=1，PB=得，在中，MQ=，所以 ，所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是47如图，在三棱锥中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC；（2
23、）ADAC【解析】证明：（1）在平面内，因为，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面=， 平面，所以平面.因为平面，所以.又，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以48如图，四棱锥中，底面ABCD，M为PD的中点（1）证明：平面PAB（2）若是边长为2的等边三角形，求点C到平面PBD的距离【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）如图取AD中点N，连接MN和CN，又平面，平面，平面，又，四边形ABCN是平行四边形，又平面，平面，平面又因为平面平面PAB，平面平面；（2）是边长为2的等边三角形，因为，所以，所以，不妨设点C到平面PBD的距离为d,则,即49如图1，在等腰
24、梯形中，两腰，底边是的三等分点，是的中点.分别沿将四边形和折起，使重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，分别为的中点.(1)证明:平面(2)求几何体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:连接，由图1知，四边形为菱形，且，所以是正三角形，从而.同理可证，所以平面.又，所以平面，因为平面，所以平面平面. 易知，且为的中点，所以，所以平面.(2)由(1)可知，几何体为三棱柱，它的体积与以为底面，以为高的三棱柱的体积相等.因为.所以，所以.50如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，点E是PC的中点（1）求证：PA平面EDB；（2）若PDAD2，求三棱
25、锥PEDB的体积VPEDB【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】解：（1）证明：连结，交于，连结，底面是正方形，是中点，点是的中点，平面，平面，平面（2）解：底面是正方形，底面，平面，又，平面，三棱锥的体积：51如图，长方体中，是棱的中点，.（）求证：；（）求三棱锥的体积.【答案】（）见解析；（）.【解析】（）证明：是长方体，平面.又平面，；（），是棱的中点，在长方体中，则平面，.52.如图，在以，为顶点的五面体中，面为正方形，.（）证明：平面平面；（）求点到平面的距离.【答案】（）见解析（）【解析】解：（）证明：因，所以，由正方形得，因平面，所以平面，因平面，所以平面平面.（）因，平面，平面，所以平面，四边形为等腰梯形，设点到平面距离为，由得，解得，所以点到平面的距离为.