1、第七章 复数专题强化练3 复数四则运算的综合运用一、选择题 1.已知a,bR,(a-i)i=b-2i,则a+bi的共轭复数为()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i2.设i为虚数单位,复数z满足2iz=1-i,则zz等于()A.0B.2C.-2D.-13.设z1=x+yi(x,yR),z2=3-4i(i为虚数单位),且|z1+z2|=5,则下列关系式正确的是()A.(x+3)2+(y-4)2=5B.(x+3)2+(y-4)2=25C.(x-3)2+(y+4)2=5D.(x-3)2+(y+4)2=254.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是()A.m23
2、B.m1C.23m15.已知关于x的实系数一元二次方程的一个根在复平面内对应的点是(2,1),则这个方程可以是()A.x2-4x+5=0B.x2+4x+5=0C.x2-4x+3=0D.x2+4x-3=06.(多选)下列命题不正确的是()A.复数a+bi(a,bR)不能是纯虚数B.若x=1,则复数z=(x-1)+(x+1)i为纯虚数C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=2D.若复数z=a+bi,则当且仅当b0时,z为虚数7.(多选)设z1,z2是复数,给出下列四个命题,其中是真命题的是()A.若|z1-z2|=0,则z1=z2B.若z1=z2,则z1=z2C.若|z1|=|
3、z2|,则z1z1=z2z2 D.若|z1|=|z2|,则z12=z22二、填空题8.1+i1-i2n+1-i1+i2n(nN*)的所有取值的集合为.三、解答题9.已知复数z满足z2=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三象限.(1)求复数z;(2)设aR,且1+z1+z2 019+a=2,求实数a的值.10.设z是虚数,=z+1z是实数,且-12.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=1-z1+z,求证:u为纯虚数; (3)在(2)的条件下,求-u2的最小值.答案全解全析一、选择题1.A由(a-i)i=1+ai=b-2i,得a=-2,b=1.a+bi=-2+i,其共轭复数为-
4、2-i.故选A.2.B由2iz=1-i,得z=2i1-i=i(1+i)=-1+i,所以z=-1-i.所以zz=(-1+i)(-1-i)=2.3.B由z1=x+yi(x,yR),z2=3-4i,得z1+z2=(x+yi)+(3-4i)=(x+3)+(y-4)i,又|z1+z2|=5,(x+3)2+(y-4)2=5,(x+3)2+(y-4)2=25.故选B.4.A因为复数(3+i)m-(2+i)=3m-2+(m-1)i对应的点在第三象限内,所以3m-20,m-10,解得m23.故选A.5.A因为一元二次方程的一个根在复平面内对应的点是(2,1),所以设此根为x=2+i(i为虚数单位),所以方程必有
5、另一根x=2-i,所以x+x=2+i+2-i=4,xx=(2+i)(2-i)=5,根据选项可得,该方程可为x2-4x+5=0.故选A.6.ACD选项A中,当a=0,b0时,复数a+bi是纯虚数,故命题不正确;选项B中,当x=1时,复数z=2i,为纯虚数,故命题正确;选项C中,若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则x2-4=0,x2+3x+20,即x=2,x-1且x-2,得x=2,故命题不正确;选项D中,没有给出a,b为实数,当a=xi(x0,xR),b=0时,z=a+bi也是虚数,故命题不正确.7.ABC在A中,若|z1-z2|=0,则z1,z2的实部和虚部分别对应相等,z1=z2,
6、故A中命题是真命题;在B中,若z1=z2,则z1,z2的实部相等,虚部互为相反数,z1=z2,故B中命题是真命题;在C中,若|z1|=|z2|,则z1z1=z2z2=|z1|2,故C中命题是真命题;在D中,若z1=1, z2=i,则|z1|=|z2|,但 z12z22,故D中命题是假命题.二、填空题8.答案-2,2 解析1+i1-i2n+1-i1+i2n=1+i1-i2n+1-i1+i2n=2i-2in+-2i2in=2(-1)n.当n为奇数时,1+i1-i2n+1-i1+i2n=-2;当n为偶数时,1+i1-i2n+1-i1+i2n=2.故所有取值的集合为-2,2.三、解答题9.解析(1)设
7、z=c+di(c0,d0),则z2=(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i,c2-d2=3,2cd=4,解得c=-2,d=-1或c=2,d=1(舍去).z=-2-i.(2)由(1)知,z=-2+i,1+z1+z=-1-i-1+i=1+i1-i=(1+i)22=i,1+z1+z2 019=i2 019=i2 016+3=i5044+3=(i4)504i3=-i, |a-i|=a2+1=2,a=3.10.解析(1)设z=a+bi(a,bR,b0),则=z+1z=a+bi+1a+bi=a+bi+a-bia2+b2=a+aa2+b2+b-ba2+b2i.是实数,b-ba2+b2=0.又b0,a2+b2=1,即|z|=1.此时=2a.-12,-12a1,即z的实部的取值范围为-12,1.(2)证明:u=1-z1+z=1-(a+bi)1+(a+bi)=(1-a)-bi(1+a)-bi(1+a)2+b2=1-a2-b2-2bi1+a2+b2+2a.a2+b2=1,u=-b1+ai.又b0,-12a1,u是纯虚数.(3)由(1)及(2)知,-u2=2a+b2(1+a)2=2a+1-a2(1+a)2=2a+1-a1+a=2(a+1)+1a+1-3.由a-12,1,知12a+12,则(a+1)+1a+12,当且仅当a+1=1a+1,即a=0时,等号成立,此时-u2取得最小值1.