1、1四种命题及相互关系2四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果pq，但qp，则p是q的充分不必要条件；(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；(4)如果qp，且pq，则p是q的必要不充分条件；(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分又不必要条件【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x3y2，则xy”的逆否命题是()A“若xy，则x2y，则x2y2”D“若xy，则x2y2”答案B解析根据
2、原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”2已知命题p：若x1，则向量a(1，x)与b(x2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A0B2C3D4答案B解析向量a，b共线xx(x2)0x0或x1，命题p为真，其逆命题为假，故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.3(2015重庆)“x1”是“log(x2)0”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件答案B解析x1x23log(x2)0，log(x2)0x21x1，故“x1”是“log(x2
3、)0”成立的充分不必要条件因此选B.4已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析a3时A1,3，显然AB.但AB时，a2或3.所以A正确5(教材改编)下列命题：x2是x24x40的必要不充分条件；圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；sinsin是的充要条件；ab0是a0的充分不必要条件其中为真命题的是_(填序号)答案题型一命题及其关系例1(1)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数“的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy
4、不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假答案(1)C(2)B解析(1)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1abi(a，bR)，则z2abi，则|z1|z2|，原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z11，z2i，
5、满足|z1|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B.思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假(1)命题“若，则cos”的逆命题是()A若，则cosB若，则cosC若cos，则D若cos，则(2)已知命题：如果x3，那么x1，且n1Bmn0，且n0Dm0，且
6、n3b3，ab1，此时loga3logb3正确；反之，若loga33b3，例如当a，b时，loga3b1.故“3a3b3”是“loga30，0，n0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn0.思维升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的某种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的某种条件(1)(2015陕西)“sincos”是“cos20”
7、的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)若命题p：k，kZ，命题q：f(x)sin(x)(0)是偶函数，则p是q的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案(1)A(2)A解析(1)sincoscos2cos2sin20；cos20cossinsincos，故选A.(2)当k，kZ时，f(x)cosx是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数f(x)sin(x)(0)是偶函数，则sin1，即k，kZ，所以p是q的必要条件，故p是q的充要条件，故选A.题型三充分必要条件的应用例3已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若
8、xP是xS的必要条件，求m的取值范围解由x28x200，得2x10，Px|2x10，由xP是xS的必要条件，知SP.则当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3引申探究1本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件解若xP是xS的充要条件，则PS，即不存在实数m，使xP是xS的充要条件2本例条件不变，若x綈P是x綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围解由例题知Px|2x10，綈P是綈S的必要不充分条件，PS且SP.2,101m,1m或m9，即m的取值范围是9，)思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充
9、要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)ax22x10至少有一个负实根的充要条件是()A0a1Ba1Ca1D0a1或a0(2)已知条件p：2x23x10，条件q：x2(2a1)xa(a1)0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_答案(1)C(2)解析(1)方法一当a0时，原方程为一元一次方程2x10，有一个负实根当a0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是44a0，即a1.设此时方程的两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2，当只有一个负实根时，a1或xa1或x0；条件q：xa，且綈q的一
10、个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A1，) B(，1C1，) D(，3解析(1)由(a1)21解得0a2，p：0a2.当a0时，ax2ax10对xR恒成立；当a0时，由得00，得x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件x|xax|x1，a1.答案(1)A(2)A温馨提醒(1)本题用到的等价转化将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系将条件之间的关系转化成集合之间的关系(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到方法与技巧1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的
11、条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定2充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：即利用AB与綈B綈A；BA与綈A綈B；AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)：若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件失误与防范1当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提2判断命题的真假及写四
12、种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式3判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言A组专项基础训练(时间：30分钟)1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案B解析依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数2(2015天津)设xR，则“1x2”是“|x2|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也
13、不必要条件答案A解析由|x2|1得1x3，所以1x21x3；但1x31x2，故选A.3给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A3B2C1D0答案C解析原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数yf(x)的图象不过第四象限，则函数yf(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个4下列结论错误的是()A命题“若x23x40，则x4”的逆否命题为“若x4，则x23x40”B“x4”是“x23x40”的充分条件C命
14、题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆命题为真命题D命题“若m2n20，则m0且n0”的否命题是“若m2n20，则m0或n0”答案C解析C项命题的逆命题为“若方程x2xm0有实根，则m0”若方程有实根，则14m0，即m，不能推出m0.所以不是真命题，故选C.5设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”“ACBD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“ACB
15、D”“四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“ACBD”的必要条件综上，“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件6设U为全集A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要的条件答案C解析由Venn图易知充分性成立反之，AB时，由Venn图(如图)可知，存在AC，同时满足AC，BUC.故“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的充要条件7(2015北京)设，是两个不同的平面，m是直线且m.则“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析
16、m，m，但m，m，m是的必要而不充分条件8函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0B0aC.a1答案A解析因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合，可得a0或a1.观察选项，根据集合间关系得a|a1，故答案选A.9“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是_答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题10若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_答案0,2解析由已知易得x|x22x30x|xm1，又x|
17、x22x30x|x3，或0m2.11给定两个命题p、q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的_条件答案充分不必要解析若綈p是q的必要不充分条件，则q綈p但綈pq，其逆否命题为p綈q但綈q/p，所以p是綈q的充分不必要条件12下列命题：若ac2bc2，则ab；若sinsin，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_答案解析对于，ac2bc2，c20，ab正确；对于，sin30sin15030150，所以错误；对于，l1l2A1B2A2B1，即2a4aa0且A1C2A2C1，所以正确；显然正确B组
18、专项能力提升(时间：15分钟)13设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案C解析先证“ab”“a|a|b|b|”若ab0，则a2b2，即a|a|b|b|；若a0b，则a|a|0b|b|；若0ab，则a2b2，即a|a|b|b|.再证“a|a|b|b|”“ab”若a，b0，则由a|a|b|b|，得a2b2，故ab；若a，b0，则由a|a|b|b|，得a2b2，即a2b；若a0，bb.综上，“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件14(2015湖北)设a1，a2，anR，n3.若p：a1，a2，an成等比数列；q：(aa
19、a)(aaa)(a1a2a2a3an1an)2，则()Ap是q的必要条件，但不是q的充分条件Bp是q的充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案B解析若p成立，设a1，a2，an的公比为q，则(aaa)(aaa)a(1q2q2n4)a(1q2q2n4)aa(1q2q2n4)2，(a1a2a2a3an1an)2(a1a2)2(1q2q2n4)2，故q成立，故p是q的充分条件取a1a2an0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.15(2015浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)card(AB)card(AB)，其中card
20、(A)表示有限集A中元素的个数，命题：对任意有限集A，B，“AB”是“d(A，B)0”的充分必要条件；命题：对任意有限集A，B，C，d(A，C)d(A，B)d(B，C)，()A命题和命题都成立B命题和命题都不成立C命题成立，命题不成立D命题不成立，命题成立答案A解析命题成立，若AB，则card(AB)card(AB)，所以d(A，B)card(AB)card(AB)0.反之可以把上述过程逆推，故“AB”是“d(A，B)0”的充分必要条件；命题成立，由Venn图，知card(AB)card(A)card(B)card(AB)，d(A，C)card(A)card(C)2card(AC)，d(B，C
21、)card(B)card(C)2card(BC)，d(A，B)d(B，C)d(A，C)card(A)card(B)2card(AB)card(B)card(C)2card(BC)card(A)card(C)2card(AC)2card(B)2card(AB)2card(BC)2card(AC)2card(B)2card(AC)2card(AB)card(BC)2card(B)2card(AC)2card(AC)B)card(ABC)2card(B)2(card(AC)B)2card(AC)2card(ABC)0，d(A，C)d(A，B)d(B，C)得证16已知集合A，Bx|1xm1，xR，若x
22、B成立的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是_答案(2，)解析Ax|1x3，即m2.17设a，b为正数，则“ab1”是“a2b21”的_条件答案充分不必要解析ab1，即ab1.又a，b为正数，a2(b1)2b212bb21，即a2b21成立，反之，当a，b1时，满足a2b21，但ab1不成立所以“ab1”是“a2b21”的充分不必要条件18下列四个结论中：“0”是“a0”的充分不必要条件；在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b全不为零”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为零”的充要条件正确的是_答案解析由0可以推出a0，但是由a0不一定推出0成立，所以正确由AB2AC2BC2可以推出ABC是直角三角形，但是由ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确由a2b20可以推出a，b不全为零，反之，由a，b不全为零可以推出a2b20，所以“a2b20”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，不正确，正确