1、数学（理科）试卷考试时间：120分钟 满分：150 一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 若，则A. B. C. D. i2. 已知集合，1，3，则A. B. C. D. 3. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为A. B. C. D. 4. 设样本数据，的均值和方差分别为1和4，若为非零常数，2，则，的均值和方差分别为A. ，4B. ， C. 1，4D. 1，5. 已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数若，则的取值范围是A. B. 或C. D. 或7. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的一个对称中心
2、是A. B. C. D. 8. 的展开式中的系数为A. B. C. 35D. 2209. 函数的最大值为A. 4B. 5C. 6D. 710. 在三棱锥中，平面ABC，则三棱锥的外接球的体积为A. B. C. D. 11. 已知F为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A、F、B三点共线”等价的是A. B. C. D. 12. 已知函数对均有，若恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 若变量x，y满足约束条件，则的最大值为_14. 设向量，若，则实数_15. 设为等比数列的前n项和，若，且，成等差数列，则_16. 设F是
3、双曲线C：的一个焦点若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （10分）在中，求b，c的值；求的值18. （12分）设数列满足求的通项公式；求数列的前n项和19. （12分）甲、乙两名运动员站在A，B，C三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在A，B，C三处投中的概率均分别为设X表示甲运动员投中的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率20. （12分）如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M
4、是线段AD的中点，求证：平面BDE；求二面角的正弦值；已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长21. （12分）已知椭圆：的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且求的离心率；设M是与的公共点若，求与的标准方程22. （12分）已知函数若，求c的取值范围；设，讨论函数的单调性；所以X的分布列为X0123P 所以设Y表示乙运动员投中的个数，由可知，所以，所以所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率为20. 证明：取AB中点F，连接MF、NF，为AD中点，平面BDE，平面BDE，平面BDE为BC中
5、点，又D、E分别为AP、PC的中点，则平面BDE，平面BDE，平面BDE又，平面MFN，平面MFN，平面平面BDE，又平面MFN，则平面BDE；解：底面ABC，以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，0，0，4，0，2，2，则，设平面MEN的一个法向量为，由，得取，得由图可得平面CME的一个法向量为由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为，则正弦值为；解：设，则0，直线NH与直线BE所成角的余弦值为，解得：当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为421. 解：因为F为的焦点且轴，可得，设的标准方程为，因为F为的焦点且轴，所以，因为，的焦点重合，所以，消去p，可得，所以，所以，设的离心率为e，由，则，解得舍去，故C的离心率为；由可得，所以：，：，联立两曲线方程，消去y，可得，所以，解得或舍去，从而，解得，所以和的标准方程分别为，22. 解：等价于设，当时，单调递增，当时，单调递减，在时取得极大值也就是最大值为，即则c的取值范围为；令，则，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，即，在和上单调递减