1、7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念学 习 目 标核 心 素 养1了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程(重点)2理解复数的概念、表示法及相关概念(重点)3掌握复数的分类及复数相等的充要条件(重点、易混点)1通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养2借助复数的概念，提升数学抽象的素养.16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5和5”就可以满足要求：(5)(5)5510，(5)(5)5525(15)40.问题：能作为“数”吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？1复数的概念：zabi(a，bR)全体复数所构成的集合Cabi|a
2、，bR，叫做复数集2复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.3复数的分类zabi(a，bR)思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？提示1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)复数i的实部不存在，虚部为0.()(3)bi是纯虚数()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()答案(1)(2)(3)(4)2复数i2的虚部是()AiB2C1D2Ci22i，因此虚部是1.3如果(xy)ix1，则实数x，y的值分别为()Ax1，y1Bx0，y1Cx1，y0Dx0，y0A(xy)i
3、x1，x1，y1.4(一题两空)在下列数中，属于虚数的是_，属于纯虚数的是_0,1i，i，2i，i，i.1i，i，2i，i，ii，i根据虚数的概念知：1i，i，2i，i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：i，i都是纯虚数复数的概念【例1】给出下列说法：复数23i的虚部是3i；形如abi(bR)的数一定是虚数；若aR，a0，则(a3)i是纯虚数；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数其中错误说法的个数是()A1B2C3D4C复数23i的虚部是3，错；形如abi(bR)的数不一定是虚数，错；只有当aR，a30时，(a3)i是纯虚数，错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故正确，所以有3个错误判断
4、复数概念方面的命题真假的注意点(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系；(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同；(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假.1下列说法中正确的是()A复数由实数、虚数、纯虚数构成B若复数zxyi(x，yR)是虚数，则必有x0C在复数zxyi(x，yR)中，若x0，则复数z一定不是纯虚数D若a，bR且ab，则aibiC选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数zxyi(x，yR)是虚数，则必有y0，但可以x0；选项C正确，若复数zxyi(x，yR)是纯虚数，必有x0，y0，
5、因此只要x0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，bR时，ai与bi都是虚数，不能比较大小复数的分类【例2】实数x分别取什么值时，复数z(x22x15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)当x满足即x5时，z是实数(2)当x满足即x3且x5时，z是虚数(3)当x满足即x2或x3时，z是纯虚数复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式zabi(a，bR)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件,设复数zabi(a，bR)，则z为实数b0，z为虚数b0，z为纯虚数
6、a0，b0，z0a0，且b0.2已知mR，复数zlg m(m21)i，当m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数解(1)当z为实数时，m需满足解得m1.(2)当z为虚数时，m需满足解得m0，且m1.(3)当z为纯虚数时，m需满足无解，即不存在m使z为纯虚数复数相等的充要条件探究问题1由32能否推出3i2i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示由32不能推出3i2i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小2若复数zabi0，则实数a，b满足什么条件？提示若复数zabi0，则实数a，b满足a0，且b0. 【例3】(1)若复数z(m
7、1)(m29)i0，则实数m的值等于_(2)已知关于x的方程x2(12i)x(3mi)0有实数根，求实数m的值思路探究(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零(2)根据复数相等的充要条件求解(1)3z0，求实数m的取值范围解由题意可知，x2(12i)x(3mi) x2x3m(2x1)i0, 故解得所以实数m的取值范围为m.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数.一、知识必备
8、1a，bR，abi0ab0；abi02两个虚数不能比较大小3z是复数，z20不一定成立，如i210.二、方法必备复数问题实数化是解决复数问题的最基本、最重要的思想方法1复数(2)i的实部是()A2BC2D0D复数(2)i的实部是0，故选D2“a2”是“复数z(a24)(a1)i(a，bR)为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件Aa2时，z(224)(21)ii是纯虚数；z为纯虚数时，a240，且a10，即a2.“a2”可以推出“z为纯虚数”，反之不成立故选A3已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A，1B，5C，5D，1C令得a，b5.4已知x2y22xyi2i，则实数x，y的值分别为_或x2y22xyi2i，解得或5如果(m21)(m22m)i0，则实数m的值为_2因为当两个复数都是实数时，才能比较大小则m2.所以m2时，(m21)(m22m)i0.