1、2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高一（下）第二次半月考数学试卷一选择题（每小题5分，共12小题）1若向量=（1，1），=（1，1），=（1，2），则等于（）ABCD2已知ABC中，B=60，那么角A等于（）A135B90C45D303设M为ABC的重心，则=（）ABCD4设f（x）=3xx2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）A0，1B1，2C2，1D1，05已知，则夹角为钝角时，取值范围为（）ABC且2D且26若的平分线上， =， =，且，则（）Ax=yBx+y=1CD7在ABC中，则边AC上的高为（）ABCD8已知ABC，若对任意tR，则ABC一定为（）A锐角三角形
2、B钝角三角形C直角三角形D答案不确定9设，是平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，且=4 +2， =3 +4，则ABC的面积等于（）AB5C10D1510已知函数的值域是0，+），则它的定义域可以是（）A（0，1B（0，1）C（，1）D（，111若，其中，则与的夹角=（）ABCD+12如图：已知，若的终点P在OBC的边界及内部，且则x、y满足的条件为（）ABCD二填空题（每小题5分，共4小题）13设正六边形ABCDEF，则=14设向量与的夹角为，且，则cos=15已知|=1，且，则=16下列说法正确的有四边形ABCD平面内有一点O，若，则四边形ABCD为平行四边形ABC中，若AB则si
3、nAsinB，反之亦成立函数的值域为（0，1方程有两个不同解，则三解答题（写出必要的文字叙述与解答过程，共70分）17已知平行四边行ABCD中，AC与BD相交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于F，若，试用表示向量18ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值19已知f（x）是定义在R的偶函数，且当x0时（1）求f（0）、f（1）的值； （2）求f（x）的表达式；（3）若f（a1）f（3a），试求a取值范围20已知ABC，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosA=bcosB（1）若a=3，b=4，求的值，
4、（2）若 C=60，ABC的面积为，求的值21某一扇型的铁皮，半径长为1，圆心角为，今想从中剪下一个矩形ABCD，如图所示，设COP=，试问当取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大值22已知向量=（1，1），向量与向量夹角为，且=1，（1）求向量；（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，2cos2），其中A、C为ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求的取值范围2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高一（下）第二次半月考数学试卷参考答案与试题解析一选择题（每小题5分，共12小题）1若向量=（1，1），=（1，1），=（1，2），则等于（）ABCD【考点】平
5、面向量的坐标运算【分析】利用向量相等、线性运算即可得出【解答】解：设，则（1，2）=m（1，1）+n（1，1）=（m+n，mn），解得m=，n=故选：B2已知ABC中，B=60，那么角A等于（）A135B90C45D30【考点】正弦定理的应用【分析】先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinA的值，进而求出A，再由ab确定A、B的关系，进而可得答案【解答】解析：由正弦定理得：，A=45或135abABA=45故选C3设M为ABC的重心，则=（）ABCD【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】根据三角形的重心关系和向量的三角形法则即可得到答案【解答】解：（如图）由M为ABC的重心可知：|BM
6、|=2|MD|，|AD|=|CD|那么：，=2（）=故选：D4设f（x）=3xx2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）A0，1B1，2C2，1D1，0【考点】二分法求方程的近似解【分析】令f（x）=3xx2=0，得3x=x2，分别作出函数y=3x，t=x2的图象观察图象的交点所在区间即可【解答】解：f（1）=31（1）2=1=0，f（0）=3002=10，f（1）f（0）0，有零点的区间是1，0【答案】D5已知，则夹角为钝角时，取值范围为（）ABC且2D且2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量数量积的定义列出不等式，再结合题意即可求出的取值范围【解答】解：，夹角为钝角
7、时，=210，解得，又与不共线，即2，的取值范围是：且2故选：C6若的平分线上， =， =，且，则（）Ax=yBx+y=1CD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】做出平行四边形ODCE，则四边形ODCE为菱形，于是|OD|=|OE|，从而得出结论【解答】解：以OA，OB的方向为邻边方向，以OC为对角线做平行四边形ODCE，则=+，=x， =y，x0，y0OC平分AOB，平行四边形ODCE是菱形|OD|=|OE|，x|=y|，故选C7在ABC中，则边AC上的高为（）ABCD【考点】三角形中的几何计算【分析】由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4x，利用勾股定理可知BD=进而解
8、得x的值，再利用勾股定理求得AD【解答】解：由点B向AC作垂线，交点为D设AD=x，则CD=4x，BD=，解得x=BD=故选B8已知ABC，若对任意tR，则ABC一定为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D答案不确定【考点】三角形的形状判断【分析】则根据向量的减法的几何意义，由|t|对一切实数t都成立可得|，进而得到ACBC，即可得到三角形为直角三角形【解答】解：令=t，则根据向量的减法的几何意义可得M在BC上，由|t|对一切实数t都成立可得：|，ACBC，则ABC为直角三角形故选C9设，是平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，且=4 +2， =3 +4，则ABC的面积等于（）AB
9、5C10D15【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】根据平面向量的数量积以及坐标运算，求出向量的模长，判断三角形是直角三角形，求出面积即可【解答】解：根据题意，得；=（4，2），=（3，4），=（1，2），=42+22=20，=32+42=25，=（1）2+22=5；=+ABC是直角三角形，它的面积为S=2=5故选：B10已知函数的值域是0，+），则它的定义域可以是（）A（0，1B（0，1）C（，1）D（，1【考点】对数函数的值域与最值【分析】要使f（x）的值域为0，+）由对数函数的图象可知，真数4x2x+1+1要能取到（0，1之间的所有值令2x=t换元解决即可【解答】解：由题意真
10、数4x2x+1+1要能取到（0，1之间的所有值，令2x=t，4x2x+1+1=t22t+1当x（0，1时，t（1，2，t22t+1（0，1，符合要求，故选A11若，其中，则与的夹角=（）ABCD+【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据条件便可由求出cos=cos，根据及向量夹角的范围可得出cos=cos（+），进而可说明=+【解答】解：根据条件，；=cos（+）；又0，；=+故选：D12如图：已知，若的终点P在OBC的边界及内部，且则x、y满足的条件为（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】用表示出，根据P点位置得出x，y的关系【解答】解： =2x+y，若的终点P在OBC的边界
11、及内部，即，故选D二填空题（每小题5分，共4小题）13设正六边形ABCDEF，则=【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】可画出正六边形，并连接AD，AE，根据图形可看出，而，从而用表示出【解答】解：如图，=；故答案为：14设向量与的夹角为，且，则cos=【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【分析】先求出，然后用数量积求解即可【解答】解：设向量与的夹角为，且，则cos=故答案为：15已知|=1，且，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件求得= 且 =，代入要求的式子化简可得结果【解答】解：已知|=1，且，+2=3，即 2+2=3，=又 =，=+（+）=+（）=，故答案为：16下列说
12、法正确的有四边形ABCD平面内有一点O，若，则四边形ABCD为平行四边形ABC中，若AB则sinAsinB，反之亦成立函数的值域为（0，1方程有两个不同解，则【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据向量相等的性质进行判断，根据大角对大边以及正弦定理进行判断，根据复合函数以及指数函数的性质进行求解，利用参数分离法结合函数的导数与最值之间的关系进行判断求解【解答】解：四边形ABCD平面内有一点O，若，则=，即=，则四边形ABCD为平行四边形，正确，ABC中，若AB，则ab，由正弦定理得sinAsinB成立，反之亦成立故正确，由x22x0得x2或x0，设t=，则t=0，则函数（0，1，即函数的值域为
13、（0，1，故正确，由2x+10得x，由得m=x，设f（x）=x，x，则函数的导数f（x）=1=，由f（x）=0得1=0得=1，即2x+1=1，得x=0，当x0时，f（x）0此时函数为减函数，且当x+时，f（x），当x0时，f（x）0，此时函数为增函数，即x=0时，函数取得极大值同时也是最大值f（0）=1，f（）=0（）=，要使f（x）=m有两个不同解，则故正确，故答案为：三解答题（写出必要的文字叙述与解答过程，共70分）17已知平行四边行ABCD中，AC与BD相交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于F，若，试用表示向量【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】利用三角形相似得出
14、DF=AB，用，表示出，即可利用三角形法则得出【解答】解：AEBFED，DF=AB，=+=+，=，=+=+=+=+18ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据ABC面积公式得bc=156；直接求数
15、量积由余弦定理a2=b2+c22bccosA，代入已知条件cb=1，及bc=156求a的值【解答】解：由cosA=，得sinA=又sinA=30，bc=156（）=bccosA=156=144（）a2=b2+c22bccosA=（cb）2+2bc（1cosA）=1+2156（1）=25，a=519已知f（x）是定义在R的偶函数，且当x0时（1）求f（0）、f（1）的值； （2）求f（x）的表达式；（3）若f（a1）f（3a），试求a取值范围【考点】对数函数的图象与性质【分析】（1）将x=0，x=1带入直接计算（2）利用定义在R的偶函数，f（x）=f（x）即可求解（3）对a的范围分段讨论计算【解
16、答】解：（1）当x0时，f（0）=0f（x）是定义在R的偶函数，f（1）=f（1），f（1）=1f（1）=1（2）f（x）是定义在R的偶函数，当x0时，则x0，f（x）=f（x）=故f（x）=（3）由偶函数的区间对称性的单调性具有相反性，可得：在区间0，+）是减函数，在（，0）是增函数由于f（a1）f（3a），所以：|a1|3a|解得：a220已知ABC，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosA=bcosB（1）若a=3，b=4，求的值，（2）若 C=60，ABC的面积为，求的值【考点】平面向量数量积的运算【分析】由acosA=bcosB得出ABC为等腰三角形或直角三角形；（1）
17、a=3，b=4时，ABC为直角三角形，由此求出的值；（2）由C=60得出ABC是等边三角形，由ABC的面积求出a、b的值，再计算的值【解答】解：ABC中，acosA=bcosB，a=b，a2（b2+c2a2）=b2（a2+c2b2），即（a2b2）c2=（a2b2）（a2+b2），（a2b2）（c2a2b2）=0，a=b或c2=a2+b2，ABC为等腰三角形或直角三角形；（1）当a=3，b=4时，ABC为直角三角形，=+2+=b2+a2=32+42=25=5；（2）C=60，ABC是等边三角形；又ABC的面积为，absinC=absin60=ab=，ab=4，a=b=2，c=2；=casin1
18、20+absin120+bcsin120=22+22+22=621某一扇型的铁皮，半径长为1，圆心角为，今想从中剪下一个矩形ABCD，如图所示，设COP=，试问当取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大值【考点】基本不等式【分析】先用把矩形的各边长表示出来，进而表示矩形的面积，化简，利用的范围，集合三角函数的性质求解【解答】解：OBC是直角三角形，在RtOBC中，由OB=OCcos=cos；BC=OCsin=sin；又OAD是直角三角形，在RtOAD中，OA=sin；又AB=OBOA=cossin所以：矩形ABCD的面积等于ABBC：令f（）=ABBC=（cossin）sin化简得：f
19、（）=，当，即时，函数f（）取得最大值，即矩形ABCD的面积最大，最大值为22已知向量=（1，1），向量与向量夹角为，且=1，（1）求向量；（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，2cos2），其中A、C为ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求的取值范围【考点】三角函数的化简求值；向量的模；平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角【分析】（1）设出向量；通过向量的夹角与数量积的公式，求出夹角的余弦值，列出方程求出向量（2）利用向量与向量=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，2cos2），结合三角形的内角和，A、B、C依次成等差数列，求出B，C与A的关系，利用二倍角与两角和与差的三角函数化简的表达式，根据角的范围求出表达式的取值范围【解答】解：（1）设=（x，y）则由，=得：cos，=由=1得x+y=1 联立两式得或=（0，1）或（1，0）（2）=得=0若=（1，0）则=10故（1，0）=（0，1）2B=A+C，A+B+C=B=C=（cosA，2cos2）=（cosA，cosC）=0A02A1cos（2A+）2016年10月31日