1、福建省南平第一中学2015届高三上第一次月考 数学（理科）试卷班级 姓名 座号 成绩 一、选择题（每小题5分，共50分。每小题只有一个正确答案）1、已知集合，,则（ B）A B C D 2、若集合，则是的 （ B ）A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件3、命题：，则 （ A）A：， B：，C：， D：，4、若函数在上为增函数，则的取值范围是 ( A) A. B. C. D. 5、已知函数，若，则实数 （D）A. B.2 C. D. 或26、已知，则函数的零点个数为( B ) A.1B.2C.3D.与a有关7、函数的图象大致是( A )8、定义在上的函数
2、满足且时，则（ C ）A B C D9、下列四个命题中的假命题是（ C）A若方程有一个正实根，一个负实根，则B函数y的图像既关于原点对称，又关于y轴对称C函数f (x)的值域是2，2，则函数f (x1)的值域为3，1D曲线y|3x2|和直线y的公共点个数是m，则m的值不可能是110、已知y=f(x)是偶函数，而y=f(x+1)是奇函数，且对任意，都有，则的大小关系是（ B）A.cb B.cb D. cb D. bc二、填空题（本大题5小题，共20分）11、计算：_812、设为定义在上的奇函数，当时， ，则 -2 13、已知 14、已知，若，则 015、若（R）是周期为2的偶函数，且当时，则方程
3、的实根个数是 4 三、简答题（本大题7小题，共80分）16(本小题满分10分)、已知线性变换对应的矩阵，线性变换对应的矩阵的属于特征值的一个特征向量，向量在线性变换作用下得到的像为；(1)求矩阵的逆矩阵； (2)求矩阵；(3)已知曲线依次作线性变换和，得到曲线:，求曲线的方程。16. 解：（1） -3 （2）设，则 即 解得 所以 -6分（3）依次作线性变换和对应的矩阵= 设曲线上任一点在矩阵对应的线性变换作用下得到的像为， 则 代入曲线得+（）+4=0，即 所求曲线的方程为。-10分17(本小题满分10分)、已知曲线C的极坐标方程是1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
4、l的参数方程为 (t为参数)(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，设曲线C上任一点为M(x，y)求点M到直线l的距离的最大值略解：-4分 -6分设18、(本小题满分10分)设函数f(x)=|x4|+,（）求f(x)的最小值m（）当 (a,b,cR)时,求的最小值.18解:()法1: f(x)=|x4|+|(x4)(x3)|=1,故函数f(x)的最小值为1. m =1.4分 法2:. 1分x4时,f(x)1;x1,3x4时,f(x)=1, 3分故函数f(x)的最小值为1. m =1.4分()由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)(a
5、+2b+3c)2=15分故a2+b2+c26分当且仅当时取等号13分19、(本小题满分12分)如右图所示， 四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA = 1， PD，E为PD上一点，PE = 2ED（）求证：PA 平面ABCD； （）求二面角DACE的余弦值；（）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF / 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由20、(本小题满分12分)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 （）写出年利润（万元）关于年产品（千件
6、）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本） 解：（）当时，当时， 6分（）当时，由当当时，取最大值，且 9分 当时，当且仅当 12分综合、知时，取最大值 所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大 13分21、(本小题满分13分)已知，其中(1）当时，求在上的最值；(2）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，说明理由解：（1）当时， 令得或 1分因为， 所以的最大值为，最小值为 3分（2） 4分令 5分当即时列表如下：000极小极大由表可知的极大值为 因为 ，故符合题意； 8分当即时，恒成立，无极值。 9分当即时列表如下：（，0）000极小极大由表可知10分设，不存在实数使极大值为3。12分综上所述， 13分22(本小题满分13分)、已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若0对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：解：（1）由题意，由得当时, ；当时，.在单调递减，在单调递增. 3分即在处取得极小值，且为最小值，其最小值为4分（2）对任意的恒成立，即在上，.由（1），设，所以.由得.易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 在处取得最大值，而.因此的解为，.8分（3）由（2）知，对任意实数均有，即.令 ，则. .10分 .