1、课时作业(四十二)一、选择题1已知向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是()Aac，bc Bab，acCac，ab D以上都不对解析：c(4，6,2)2(2，3,1)，ac.又ab22(3)0140，ab.答案：C2(2012年厦门模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B. C. D.解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：B3已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量
2、，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60 C120 D150解析：由于cosm，n，m，n120，所以直线l与所成的角为30.答案：A4已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135 C45或135 D90解析：cosm，n，即m，n45.两平面所成二面角为45或18045135.答案：C5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是()A平行 B相交C异面垂直 D异面不垂直解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,
3、0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，(1,0，2)，(2,0,1)，0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直答案：C6如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45 B60C90 D120解析：以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，(0，1,1)，(2,0,2)cos，.EF与BC1所成角为60.答案：B二、填空题7(2012年
4、宁波模拟)若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析：由已知得，83(6)，解得2或.答案：2或8正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：309正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大
5、小为_解析：建系如图设A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)C(0,1,0)则(1,1,0)为平面BB1D1的一个法向量设n(x，y，z)为平面ABD1的一个法向量则n0，n0.又(1,0,1)，(0,1,0)，令x1，则z1，cos，n，n120，即二面角ABD1B1的大小为120.答案：120三、解答题10(2013年长春调研测试)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CAC2，ABBC，ABBC，O为AC中点(1)证明：A1O平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；(3)在BC1上是否存在一点E，
6、使得OE平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由解：(1)AA1A1CAC2，且O为AC中点，A1OAC，又侧面AA1C1C底面ABC，交线为AC，A1O面A1AC，A1O平面ABC.(2)如图，以O为原点，分别以OB、OC、OA1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0，)，A(0，1,0)(0,1，)，令平面A1AB的法向量为n(x，y，z)，则nn0，而(0,1，)，(1,1,0)，可求得一个法向量n(3，3，)，所以|cos，n|，故直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为.(3)存在点E为线段BC1的中点证
7、明：连接B1C交BC1于点M，连接AB1、OM，则M为BC1的中点，从而OM是CAB1的一条中位线，OMAB1，而AB1平面A1AB，OM平面A1AB，所以OM平面A1AB，故BC1的中点M即为所求的E点11(2012年郑州模拟)如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBDC90，ABBC2CD2，PBPC，侧面PBC底面ABCD，O是BC的中点(1)求证：PO平面ABCD；(2)求证：PABD；(3)若二面角DPAO的余弦值为，求PB的长解：(1)证明：PBPC，O是BC的中点，POBC.侧面PBC底面ABCD，BC是这两个平面的交线，PO平面PBC，PO平面ABCD.(2)证明：
8、据题意，可以以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，其中BAy轴，则各相关点的坐标为：B(1,0,0)、A(1,2,0)、D(1,1,0)(2,1,0)，(1,2,0)，220，BDOA.由(1)知，PO平面ABCD，POBD.POOAO，BD平面POA，BDPA.(3)设P(0,0，p)，平面PAD的一个法向量为n(x，y,1)则(1,2，p)，故(2,1,0)，解得n.由(2)知，(2,1,0)是平面POA的一个法向量据题意，|cosn，|，整理得p23.(1,0，p)，PB|2.12(2012年福建)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EA
9、D1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长解：(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要
10、使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1.是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos二面角AB1EA1的大小为30，|cos|cos30，即，解得a2，即AB的长为2.热点预测13在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()A BC. D.解析：如图
11、建立直角坐标系Dxyz，设DA1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，则(1,1,0)，若异面直线DE与AC所成的角为，cos|cos，|.答案：D14在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则点D到平面PBC的距离是_解析：分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，(2,2，2)，(0,2,0)设n(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即取x1，则n(1,0,1)又(2,1,0)，点D到平面PBC的距离
12、为.答案：15在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC的中点，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC90，ABADPD1，CD2.(1)求证：BE平面APD；(2)求证：BC平面PBD；(3)设Q为侧棱PC上一点，试确定的值，使得二面角QBDP为45.解：(1)证明：取PD的中点F，连接EF，AF，E为PC的中点，EFCD，且EFCD1.在梯形ABCD中，ABCD，AB1，EFAB，EFAB.四边形ABEF为平行四边形，BEAF.BE平面PAD，AF平面PAD，BE平面PAD.(2)证明：平面PCD平面ABCD，PDCD，PD平面ABCD.PDAD.在直角梯形ABCD中，BDBC，DC2，CBD90，即DBBC.又由PD平面ABCD，可得PDBC.又PDBDD，BC平面PBD.(3)如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，平面PBD的法向量为(1,1,0)，又(0,2，1)，(0,1)，Q(0,2，1)设平面QBD的法向量为n(a，b，c)，又(1,1,0)，(0,2，1)，n，cos45，注意(0,1)，1.