1、22等差数列的前n项和（第1课时）一、教材分析1教学内容：本节课是高中北师大版必修5第一章第二节第一课时的内容。主要研究等差数列的前n项和公式的推导及其简单应用。2地位与作用本节课是前面等差数列所学知识的延续和深化，又是后面学习“等比数列及其前n项和”的基础和前奏。学好了本节课的内容，既能加深对数列有关概念的理解，又能为后面学好等比数列及数列求和提供方法。同时还蕴涵着深刻的数学思想方法（倒序相加法、数形结合、方程思想），因此“等差数列的前n项和”无论是在数列这一章中还是在高中数学中都有极为重要的位置，具有承上启下的重要作用。二、学情分析1.知识基础：学生已学习了数列及等差数列有关基础知识，并且
2、在初中已了解特殊的数列求和及小高斯的故事。2.认知水平与能力：学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。3. 学生特点：平行文科班里有不少学生基础差且思维较不活跃，还不能带动其它学生积极学习，处理抽象问题的能力还有待进一步提高。三、目标分析知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式；2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;3.会简单运用等差数列前n项和公式.过程与方法：1通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；2. 通过公式的运用体会方程的思想。情 感 态 度：结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通
3、过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.四教学重点、难点1、教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.2、教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.3、重点、难点解决策略：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。五. 教法、学法本课采用“探究发现”教学模式教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.课时安排2课时六教学过程创设情境 导入新课
4、教师出示幻灯片投影1.泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？图1图2这实际上是个什么问题呢？图案上从上而下第一层是1颗宝石，第一层是2颗宝石，第三层是3颗宝石 第一百层是100颗宝石。即: 1+2+3+100=？ 点出课题教师出示幻灯片投影2.其实伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，就已经解决了有一次老师出了一道
5、题目，12100？” 高斯很快算出了答案“1231005 050.”你知道高斯是如何算出答案的吗？10岁的小高斯能迅速写出12399100(1100)(299)(398)(5051)101505 050，将加法问题转化为乘法运算，迅速准确地得到了结果，实际上，高斯用的是首尾配对相加的方法，也就是：1100 299 3 98 50 51 101， 有50个101，所以123100 50101 5 050.高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50 组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101 个50 就等于5 05
6、0 了高斯的这种算法，就是等差数列求和的方法，也就是我们将要探究的等差数列的前n 项和问题设计意图 : 引导学生探究以上两个著名的历史问题，一方面展示了历史文化奇迹，另一方面激发学生的探究兴趣新知探究探究问题1现在，我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案，在图中我们取下第1层到第21层，得到图6，则图6中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢？这是求“12321”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了要是偶数项的数求和就正好首尾配成对了图6高斯的这种“首尾配对”的算法适用于项数是偶数的数列，我们是否有简单的方法来解决上面这个问题呢？我们发现用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补
7、成平行四边形平行四边形中的每行宝石的颗数均为22，共21行，则三角形中的宝石颗数就是.这种思想方法用图形来说明就更清楚在图6上拼一个倒过来的图形(如图7)，就成为各行有相同个数的平行四边形，计算这个平行四边形图案中宝石的颗数就很容易了图7这种方法不需分项数为奇数、偶数的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：12321，2120191，将上述两式对齐相加(其中第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)总结：这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”探究问题2 等差数列1,2,3,n, 的前n项和怎么求？倒序相加法得到如下算式：Sn1 2 3n1 nSnnn1n2 2 1(n1)(
8、n1)(n1)(n1)(n1)可知1+2+3+n .设计意图 :探究了以上两个实际问题的求和，学生对数列求和问题有了一定的认识，比较以上两种探究过程，学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？这种类比的联想就是思维智慧的体现为了降低难度，教师可先与学生一起探究问题3 对于一般等差数列an，首项为a1公差为d,如何推导它的前n项和公式Sn呢？等差数列an的前n项和的问题，让学生明白Sn 就表示an 的前n 项和，即Sna1a2a3an，根据倒序相加法可得如下算式：Sn a1 a2 a3 an，Sn an an1 an2 a1，2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(an
9、a1).根据上节课等差数列的性质有：a1ana2an1a3an2ana1.所以2Snn(a1an)由此可得等差数列an的前n项和公式：将等差数列的通项公式ana1(n1)d代入上式，可得等差数列an的前n项和的另一个公式：(2)说明：（！）以上两种推导过程都很精彩，一是用“倒序相加法”，二是用基本量转化，利用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前n项和公式其中公式(1)是基本的，我们可以发现，它可与梯形的面积公式“(上底下底)高2”相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n，有利于我们的记忆对于公
10、式(2)，我们还可以这样来求：因为Sna1(a1d)(a12d)(a13d)a1(n1)d，所以Snna1123(n1)dna1d，即Snna1d.从以上探究我们可以看出这两个公式是可以相互转化的说明：从结构特征看，公式(1)反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质；公式(2)反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较两个公式从不同角度反映了等差数列的性质两个公式的共同点是需要知道a1和n，不同点是前者还需知道an，后者还需要知道d.从方程角度看，两公式共涉及5个元素：a1，d，n，an，Sn，教师要点
11、拨学生注意这5个元素，其中a1，d称为基本元素因为已知等差数列的首项a1，公差d，则此数列完全确定因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题，这往往要根据已知条件列出关于a1，d的方程组，再解这个方程组求出a1，d.例1 计算： (1)135(2n1)；(2)2462n；(3)123456(2n1)2n.解：；(1)135(2n1)n2；(2)2462nn(n1)；(3) 解法一 原式135(2n 1) (2 4 6 2n) n2 n( n 1)n.解法二：原式(1 ) (1) (1) (1) n.设计意图：对于刚学完公式的学生来讲，先补充这样一个直接运用公式的题目，目的是让学生
12、迅速熟悉公式，用基本量观点认识公式，学生自己去解答完成，只是对(4)需做必要的点拨：本小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用公式求解？若不能，应如何解答？引导学生观察，本小题中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，变式训练在等差数列an中，(1)已知a15，an95，n10，求Sn，(2)已知a1100，d2，n50，求Sn.答案：(1)500；(2)2 550.例2 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？ 解：方法一：由题意可知S10310，S201 200，将它们代入公式Snna1d，得
13、到解这个关于a1与d的方程组，得到a14，d6，所以Sn4n63n2n.方法二：由S1010310，得a1a1062，S20201 220.所以a1a20122.，得10d60，所以d6.代入，得a14，所以有Snna1d3n2n.设计意图：，本例是问“由这些条件能确定这个等差数列的前n项和公式吗？”，而不是“求这个数列的前n 项和”这就更深了一层，让学生领悟到a1 与d 一 旦确定，那么这个等差数列就确定了，同时通过本例也让学生领悟到等差数列an 中a1 与d 是 所给5 个 量中的基本量.5个量中已知三个量，则可求其他量，只需通过构造方程或方程组，运用方程思想即可解决问题变式训练设Sn为等
14、差数列an的前n项和，S414，S10S730，求S9.解：由S414，S10S730，得即解得a12，d1.S99a136d54.课本本节练习1,2,3.1 本节的小结由学生来完成，首先回顾总结本节都学习了哪些数学内容？(两个重要的等差数列求和公式)2.通过等差数列的前n项和公式的推导，3.你都从中学到了哪些数学思想方法？对你今后的学习有什么启发指导？4数列求和 倒序相加法的思想分层作业必做题1.已知等差数列an,其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成 等差数列,求这10个数的和。选做题已知数列an的前n项和为Snn2n，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据Sna1a2an1an与Sn1a1a2an1(n1)，可知，当n1时，anSnSn1n2n2n，当n1时，a1S1121.也满足式，课后思考：等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?教学反思