1、上海市某重点中学2012-2013学年度第一学期高二数学期中考试试卷（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上） 一、填空题（每小题3分，共36分）1、已知向量,，且，则_。2、过点且与直线平行的直线方程是_。3、已知，且，则向量在向量的方向上的投影为_。 4、已知，直线过点A,且与向量垂直，则直线的一般式方程是_。5、已知平面上两点、，若点在直线上，且，则点的坐标是_。 6、若直线被两平行线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角是_。7、若的三个顶点A、B、C以及平面内一点P满足，且实数满足，则实数的值是_。8、点,，过线段PQ的中点，使P、Q两点到直线的距离都等于3，则
2、直线的方程是_。9、过两条直线：，:的交点，且与直线的夹角为的直线方程是_。10、在直线：上求一点P，使P点到两个定点,的距离之差最大，则点P的坐标为_。11、设平面上三点A、B、C不共线，平面上另一点D满足，则的面积与四边形ABCD的面积之比为_。12、已知O是的外心，若 ()，则_。二选择题（每小题4分，共16分）13、已知点M，点N在直线上。若直线MN垂直于直线，则N点的坐标为（ ）（A） （B）（C） （D）。14、若向量，则与一定满足( ）（A）夹角为（B）（C）（D）15、设两条直线，与x轴两两相交且能构成三角形，则（ ）（A）（B）（C） （D）。16、设O为所在平面上一点，若实
3、数满足 ()，则“”是“点O在的边所在的直线上”的（ ）（A）充要条件 （B）必要不充分条件（C）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件。三解答题（共5题，本大题要有必要的解答过程）17、（本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分）已知，（1）当为何值时，与平行；（2）若，求的值。18. （本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程是，AC边上的高所在的直线方程是求：（1）AC边所在的直线方程；（2）AB边所在的直线方程。19、（本题满分10分） 如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、,设，,其中，
4、,求表达式的值，并说明理由。20、（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）如图，已知ABC的三个顶点，,，直线l /AB，交AC于D，交BC与E，且将ABC分成面积相等的两部分，设求：（1）D分的比的值；（2）直线l的方程。21、（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义。（1）若，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；（3）题（2）的结论在一般情况下也成立：若位置向量的终点在直线m上，则位置向量的终点也都在直线上，记作直线n（本结论不必证明）。求证：直线m与直线OB（B
5、为位置向量的终点）的夹角等于直线n与直线OB的夹角。参考答案：一、填空题（每小题3分，共36分）1、已知向量,，且，则_。 1或22、过点且与直线平行的直线方程是_。 3、已知，且，则向量在向量的方向上的投影为_。 4、已知，直线过点A,且与向量垂直，则直线的一般式方程是_。 5、已知平面上两点、，若点在直线上，且，则点的坐标是_。 6、若直线被两平行线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角是_。 7、若的三个顶点A、B、C以及平面内一点P满足，且实数满足，则实数的值是_。 38、若点,，过线段PQ的中点，使P、Q两点到直线的距离都等于3，则直线的方程是_。 或9、过两条直线：，:的交点，且与直线
6、的夹角为的直线方程是_。 10、 在直线：上求一点P，使P点到两个定点,的距离之差最大，则点P的坐标为_。 11、设平面上三点A、B、C不共线，平面上另一点D满足，则的面积与四边形ABCD的面积之比为_。 12、已知O是的外心，若 ()， 则_。 二选择题（每小题4分，共16分）13、已知点M，点N在直线上。若直线MN垂直于直线，则N点的坐标为（ C ）（A）（B）（C） （D）。14、若向量，则与一定满足( B ）（A）夹角为（B）（C）（D）15、设两条直线，与x轴两两相交且能构成三角形，则（ D ）（A）（B）（C） （D）。16、设O为所在平面上一点，若实数满足 ()，则“”是“点O在
7、的边所在的直线上”的（ A ）（A）充要条件 （B）必要不充分条件（C）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件。 三解答题（共5题，本大题要有必要的解答过程）17、（本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分）已知，（1）当为何值时，与平行；（2）若，求的值。解：（1） 所以存在，使得 因为不平行，故有 （2） 即 又， ， 所以 即 既有， 所以。 18. （本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程是，AC边上的高所在的直线方程是求：（1）AC边所在的直线方程；（2）AB边所在的直线方程。解：（1）由题意，直线的一个法向量是AC边所在直
8、线的一个方向向量AC边所在直线方程为2x+y5=0。（2）y=1是AB中线所在直线方程 设AB中点P，则B满足方程，得， P(1,1)则AB边所在直线方程为。19、（本题满分10分） 如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、,设，,其中，,求表达式的值，并说明理由。解：如图延长AG交BC与F，G为ABC的中心F为BC的中点，则有 ，即， D、G、E三点共线， 故3。20、（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）如图，已知ABC的三个顶点，,，直线l /AB，交AC于D，交BC与E，且将ABC分成面积相等的两部分，设求：（1）D分的比的值；（2
9、）直线l的方程。解：（1）设D点坐标为， 由，, 得， 即，D分的比为，（2）由定比分点公式得: ，D点坐标为, 故， 直线的方程为即。21、（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义 。（1）若，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；（3）题（2）的结论在一般情况下也成立：若位置向量的终点在直线m上，则位置向量的终点也都在直线上，记作直线n（本结论不必证明）。求证：直线m与直线OB（B为位置向量的终点）的夹角等于直线n与直线OB的夹角。解：（1）。（2）设，则，所以，于是。因为位置向量的终点在直线上，所以，即有，因为A、B不全为0，所以、也不全为0，所以位置向量的终点在直线上。（3）在直线m上任取不同两点、，可知位置向量、对应的位置向量、位于直线n上。取，。，所以，所以，又，所以， 所以。
