1、福建省厦大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1（5分）命题“xR，x2+4x+50”的否定是（）AxR，x2+4x+50BxR，x2+4x+50CxR，x2+4x+50DxR，x2+4x+502（5分）抛物线x2=8y的准线方程是（）Ay=2BCDy=23（5分）某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）A20辆B40辆C60辆D80辆4（5分）双曲线=1的渐近线方程为（
2、）Ay=xBy=xCy=xDy=x5（5分）如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）ABCD无法计算6（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A3m4BCD7（5分）已知抛物线y2=4x，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）Ax2y+1=0B2xy1=0C2x+y3=0Dx+2y3=08（5分）已知动圆C与圆C1：x2+（y2）2=9和圆C2：x2+（y+2）2=25都外切，则动圆圆心C的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D双曲线的一支9（5分）M为抛物线y2=4x上一
3、动点，F是焦点，P（5，4）是定点，则当|MP|+|MF|取最小值时点M的横坐标是（）A2B4C6D810（5分）已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A4+2B+1C1D二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分11（4分）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|等于12（4分）已知椭圆=1 的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上若|PF1|PF2|=2，则PF1F2的面积是13（4分）已知点A（0，1），当点B在曲线y=2x2+1
4、上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是14（4分）已知p：x2+x20，q：xa，若q是p的充分不必要条件，则q的取值范围是15（4分）已知两个点M（5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|PN|=6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：y=x+1；y=2；y=2x+1其中为“B型直线”的是（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=x，且双曲线过点（，）（）求双曲线的方程；（）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|17（13分）已知命题p：方程
5、+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围18（13分）某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖（）求中二等奖的概率；（）求未中奖的概率19（14分）已知顶点在坐标原点，焦点为P（1，0）的抛物线C与直线y=2x+b相交于A，B两点，|AB|=3（1）求抛物线C的标准方程；（2）求b的值；（3）当抛物线上一动点P从点A到B运动时，求ABP面积的最大值20（13分）已知椭圆的一个
6、顶点为A（0，1），焦点在x轴上，若右焦点到直线xy+2=0的距离为3（）求椭圆的方程；（）是否存在斜率为k（k0），且过定点Q（0，2）的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M，N，且|AM|=|AN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由21（14分）已知椭圆C1：+=1（ab0）过点A（1，），其焦距为2（）求椭圆C1的方程；（）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（ab0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求OC
7、D面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2：+=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由福建省厦大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1（5分）命题“xR，x2+4x+50”的否定是（）AxR，x2+4x+50BxR，x2+4x+50CxR，x2+4x+50DxR，x2+4x+50考点：特称命题；命题的否定 专题：规律型分析：根据命题的否定规则，将量词否定，结论否定，即可得到结论解答：解
8、：将量词否定，结论否定，可得命题“xR，x2+4x+50”的否定是：“xR，x2+4x+50”故选C点评：本题重点考查命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定规则，属于基础题2（5分）抛物线x2=8y的准线方程是（）Ay=2BCDy=2考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：先根据抛物线方程的标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可解答：解：抛物线的方程为抛物线x2=8y，故p=4，其准线方程为y=2；故选A点评：本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=4，因看错方程形式马虎导致错误3（5分）某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”，
9、并将受到处罚如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）A20辆B40辆C60辆D80辆考点：频率分布直方图 专题：计算题；概率与统计分析：频数=样本容量频率解答：解：被处罚的汽车大约有200100.01=20故选A点评：考查了频率分布直方图中的数字特征4（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x考点：双曲线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解解答：解：双曲线的渐近线方程为：，整理，得4y2=5x2，解得y=x故选：B点评：本题考查双
10、曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质5（5分）如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）ABCD无法计算考点：几何概型 专题：计算题分析：本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，关键是要根据几何概型的计算公式，列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系解答：解：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，P=，又S正方形=4，S阴影=，故选B点评：利用几何概型的意义进行模拟试验，估算不规则图形面积的大小，关键是要根据几何概型
11、的计算公式，探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系，及它们与模拟试验产生的概率（或频数）之间的关系，并由此列出方程，解方程即可得到答案6（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A3m4BCD考点：椭圆的定义 专题：计算题分析：进而根据焦点在y轴推断出4m0，m30并且m34m，求得m的范围解答：解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4m0，m30并且m34m，解得：故选D点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴7（5分）已知抛物线y2=4x，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）Ax2y+1=0B2xy
12、1=0C2x+y3=0Dx+2y3=0考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设弦所在直线方程为 y1=k（x1），代入抛物线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出 k=2，从而得到弦所在直线方程解答：解：由题意可得，弦所在直线斜率存在，设弦所在直线方程为 y1=k（x1），代入抛物线的方程可得ky24y44k=0，由 y1+y2=2 可得，k=2，故弦所在直线方程为2xy1=0，故选：B点评：本题考查用点斜式求直线方程的方法，一元二次方程根与系数的关系，求出 k=2是解题的关键8（5分）已知动圆C与圆C1：x2+（y2）2=9和圆C2：x2+（y+2）2=25都外
13、切，则动圆圆心C的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D双曲线的一支考点：轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由两圆的方程分别找出圆心C1与C2的坐标，及两圆的半径r1与r2，设圆P的半径为r，根据圆C与C1外切，又圆C与C2外切，得到CC2CC1=2，判断结果即可解答：解：由圆C1：x2+（y2）2=9和圆C2：x2+（y+2）2=25，得到C1（0，2），半径r1=3，C2（0，2），半径r2=5，设圆C的半径为r，圆P与C1外切而又与C2外切，CC1=r+3，CC2=5+r，CC2CC1=（r+5）（3+r）=2r1+r2，满足双曲线的定义，是双曲线的一支故
14、选：D点评：此题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角d与两圆半径R，r的关系来判断，当dRr时，两圆内含；当d=Rr时，两圆内切；当RrdR+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当dR+r时，两圆外离9（5分）M为抛物线y2=4x上一动点，F是焦点，P（5，4）是定点，则当|MP|+|MF|取最小值时点M的横坐标是（）A2B4C6D8考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MP|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，P三点共线时|M
15、P|+|MD|最小，答案可得解答：解：设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，为5（1）=6故选C点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，P三点共线时|PM|+|MD|最小，是解题的关键10（5分）已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A4+2B+1C1D考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：首先根据题意
16、建立关系式利用正三角形的边的关系，和双曲线的定义关系式求的离心率解答：解：已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则：设|F1F2|=2c进一步解得：|MF1|=c，利用双曲线的定义关系式：|MF2|MF1|=2a两边平方解得：故选：B点评：本题考查的知识要点：双曲线的定义关系式，正三角形的边的关系，双曲线的离心率，及相关运算二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分11（4分）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|等于6考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥
17、曲线的定义、性质与方程分析：利用中点坐标公式和弦长公式即可得出解答：解：由抛物线y2=4x可得p=2设A（x1，y1），B（x2，y2）线段AB的中点M的横坐标为2，x1+x2=22=4直线AB过焦点F，|AB|=x1+x2+p=4+2=6故答案为：6点评：本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题12（4分）已知椭圆=1 的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上若|PF1|PF2|=2，则PF1F2的面积是考点：椭圆的简单性质 专题：计算题分析：先由椭圆的方程求出|F1F2|=2，再由|PF1|PF2|=2，求出|PF1|=3，|PF2|=1，由此能够推导出PF2F1是直角三
18、角形，即可求解三角形的面积解答：解：=1|PF1|+|PF2|=4，2c=2|PF1|PF2|=2，可得|PF1|=3，|PF2|=1，因为12+（2）2=9，PF2F1是直角三角形，PF1F2的面积|PF2|F1F2|=12=故答案为：点评：本题考查椭圆的性质，判断出PF2F1是直角三角形能够简化运算13（4分）已知点A（0，1），当点B在曲线y=2x2+1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是y=4x2考点：轨迹方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出M的坐标，求出P的坐标，动点 P在抛物线y=2x2+1上运动，点P满足抛物线方程，代入求解，即可得到M的轨迹方程解答：解：设
19、M的坐标（x，y），由题意点B与点 A（0，1）所连线段的中点M，可知B（2x，2y+1），动点B在抛物线y=2x2+1上运动，所以2y+1=2（2x）2+1，所以y=4x2所以点B与点 A（0，1）所连线段的中M的轨迹方程是：y=4x2故答案为：y=4x2点评：本题是中档题，考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用14（4分）已知p：x2+x20，q：xa，若q是p的充分不必要条件，则q的取值范围是1，+）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分不必要条件的定义建立条件关系即可得到结论解答：解：由x2+x20得x1或x2，若
20、q是p的充分不必要条件，则a1，故答案为：1，+）点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系是解决本题的关键15（4分）已知两个点M（5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|PN|=6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：y=x+1；y=2；y=2x+1其中为“B型直线”的是（填上所有正确结论的序号）考点：双曲线的简单性质 专题：常规题型分析：根据题设条件可知点P的轨迹方程是（x0），将直线，的方程分别与（x0）联立，若方程组有解，则该直线为“B型直线”解答：解：|PM|PN|=6点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即（x0），把y=x+1代入双曲线（x
21、0）并整理，得7x218x153=0，=（18）247（153）0y=x+1是“B型直线”，把y=x代入双曲线（x0）并整理，得144=0，不成立y=x不是“B型直线”，把y=2代入双曲线（x0）并整理，得，y=2是“B型直线”，把y=2x+1代入双曲线（x0）并整理，得20x2+36x+153=0，=3624201530y=2x+1不是“B型直线”答案：点评：将直线，的方程分别与（x0）联立，若方程组有解，则该直线为“B型直线”三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=x，且双曲线过点（，）（）求双曲线的
22、方程；（）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设双曲线方程为：3x2y2=，点代入，即可求双曲线的方程；（）直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求|AB|解答：解：（）设双曲线方程为：3x2y2=，点代入得：=3，所以所求双曲线方程为：（6分）（）直线AB的方程为：y=x2，由得：2x2+4x7=0，（10分）（12分）点评：本题考查双曲线方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题17（13分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题
23、q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围考点：复合命题的真假 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑分析：先将命题p，q化简，然后由“pq”为假命题，“pq”为真命题得出p，q恰有一真一假，分类讨论即可解答：解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，m2；关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，4m24（2m+3）0，解得1m3，“pq”为假命题，“pq”为真命题p，q恰有一真一假，若“p真q假”，则，即m3，若“p假q真”，则，即1m2，综上，实数m的取值范围是（1，23，+）点评：本题的关键是在于对命题的联结词的掌握，
24、由“pq”为假命题，“pq”为真命题得出p，q恰有一真一假18（13分）某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖（）求中二等奖的概率；（）求未中奖的概率考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（）求出所有基本事件总数，“中二等奖”的事件为A的个数即可求中二等奖的概率；（）设“未中奖”的事件为B，所有基本事件总数，求出中奖的概率然后求未中奖的概率解答：（本题满分13分）解：（）设“中二等奖”的事件为A，所有基本事件包括（0，0），（0，1）（3，3）共16个，事
25、件A包含基本事件（1，3），（2，2），（3，1）共3个 （6分）（）设“未中奖”的事件为B，所有基本事件包括（0，0），（0，1）（3，3）共16个，“两个小球号码相加之和等于3”这一事件包括基本事件（0，3），（1，2）（2，1），（3，0）共4个，“两个小球号码相加之和等于5”这一事件包括基本事件（2，3），（3，2）共2个（12分）答：（）中二等奖的概率；（）未中奖的概率13分）点评：本题考查古典概型概率的求法，基本知识的考查19（14分）已知顶点在坐标原点，焦点为P（1，0）的抛物线C与直线y=2x+b相交于A，B两点，|AB|=3（1）求抛物线C的标准方程；（2）求b的值；（3）当
26、抛物线上一动点P从点A到B运动时，求ABP面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：本题（1）利用已知抛物线的焦点，得到参数p的值，从而求出方程，得到本题结论；（2）用直线和抛物线的方程联列方程组，利用根与系数的关系和弦长公式，得到关于b的等式，解方程得到b的值，得到本题结论；（3）先由直线和抛物线的方程联列方程组，求出点A、B的坐标，再利用参数方程思想，设出点P的坐标，用点到直线的距离公式表示出高的长，得到面积的函数表达式，求函数最值，得到本题结论解答：解：（1）设所求的抛物线方程为y2=2px（p0），根据题意：，p=2，
27、y2=4x所求的抛物线C标准方程为y2=4x（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得：4x2+4（b1）x+b2=0，=16（b1）216b20又由韦达定理有x1+x2=1b，x1x2=，|AB|=，即b=4（3）由得：x25x4=0，x=2或x=4，y=2或y=4设点P（，t），动点P从点A到B运动，2t4动点P到直线AB的距离为：（2t4）当t=1时，此时P（）ABP面积的最大值为ABP面积的最大值为：点评：本题考查了抛物线的方程、弦长公式、点到直线距离公式，还考查了函数最值的求法，本题有一定的综合性，属于难题20（13分）已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上，若右焦点到
28、直线xy+2=0的距离为3（）求椭圆的方程；（）是否存在斜率为k（k0），且过定点Q（0，2）的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M，N，且|AM|=|AN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）依题意可设椭圆方程为，利用右焦点到直线xy+2=0的距离为3，求出c，可求a，即可求椭圆的方程；（），直线方程为y=kx+2，代入椭圆方程，因为|AM|=|AN|，所以APMN，所以，即可得出结论解答：解：（I）依题意可设椭圆方程为，右焦点F（c，0），由题设：，解得：，故所求椭圆的方程为（4分）（II）设存
29、在直线符合题意，直线方程为y=kx+2，代入椭圆方程得：（3k2+1）x2+12kx+9=0，（6分）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）为弦MN的中点，则由韦达定理得：，所以k21（8分）所以，（9分）因为|AM|=|AN|，所以APMN，所以，所以k=1（11分）不符合0，所以不存在直线符合题意（12分）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（14分）已知椭圆C1：+=1（ab0）过点A（1，），其焦距为2（）求椭圆C1的方程；（）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（ab0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）
30、处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2：+=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）依题意得：椭圆的焦点为F1（1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，即可求出a，b，从而可求椭圆C1的方程；（）
31、（i）确定，再结合基本不等式，即可求OCD面积的最小值；（ii）先求出直线MN的方程，再求出原点O到直线MN的距离，即可得出结论解答：解：（I）依题意得：椭圆的焦点为F1（1， 0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，所以椭圆C1的方程为（4分）（II）（）设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为令x=0，令，所以（5分）又点B在椭圆的第一象限上，所以，（7分），当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为（9分）（ii）设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线为：又PM过点P（m，n），所以，同理点N（x4，y4）也满足，所以M，N都在直线上，即：直线MN的方程为（12分）所以原点O到直线MN的距离=，（13分）所以直线MN始终与圆相切（14分）点评：本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
