1、2020-2021学年黑龙江省哈工大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合U1，2，3，4，5，6，7，集合Ax|3x7，xN，则UA（）A1，2B3，4，5，6，7C1，3，4，7D1，4，72若p是真命题，q是假命题，则（）Apq是真命题Bpq是假命题Cp是真命题Dq是真命题3下列命题为真命题的是（）A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“若x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2+3x40”的否命题D命题“若x21，则x1”的逆否命题4已知a，bR，则“ab”是“a+2b+1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充
2、分必要条件D既不充分又不必要条件5已知命题p：x0，exx+1，则命题p为（）Ax0，exx+1Bx0，exx+1Cx0，exx+1Dx0，exx+16设复数z（12i）（2+i），则|z|（）A3BCD57某校甲、乙课外活动小组（两小组人数相等）20次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲、乙两组平均成绩分别用，表示，标准差分别用s1，s2表示，则（）ABCD8下列数中，表示同一个函数的是（）Ayx2与 Byx2与 yt2CD9已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）f（8+x），当x0，4时，f（x），则f（f（2020）（）A8B6C0D610已知f（x）ax2+bx是定义在b
3、3，b+1上的奇函数，那么a+b的值为（）AB1CD11函数yf（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A（1，3）为函数yf（x）的递增区间B（3，5）为函数yf（x）的递减区间C函数yf（x）在x0处取得极大值D函数yf（x）在x5处取得极小值12已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A4a0Ba2C4a2Da0二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现利用随机数表对生产的50只口罩进行抽样检测，先将50个零件进行编号为01，02，03，50，从中抽取10个样本，如图提供随机数表的第2行到第4行若从表中第3行第4列开始向右
4、读取数据，则得到的第5个样本编号是 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 15 53 31 34 57 86 01 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 4514设函数f（x）x2x2，x5，5，那么任取一点x0，使f（x0）0的概率为 15已知幂函数f（x）x过点（4，2），
5、则f（9） 16设函数，则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围 三、解答题：（本大题共6小题，共70分。）17在平面直角坐标系xOy中，直线l参数方程为（t为参数）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为4cos（）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（）若点P坐标为（1，1），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值18质检部门抽查1000个某机械零件的半径（单位：厘米），经统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间4，5），5，6），6，7），7，8），8，9），9，10（1）请根据频率分布直方图估计零件的半径在区间7，9）的零件个数；
6、（2）求这1000个零件半径尺寸数据的中位数19在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinAsinB+sin2Csin2A+sin2B（1）求角C的大小；（2）若c2，求ABC面积的最大值20新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标新能源汽车也越来越受到消费者的青睐某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：购置新能源汽车购置传统燃油汽车合计男性10020120女性503080合计15050200（1）根据表中数据，
7、判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率附：K2，na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82821在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于A，B两点、以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C的极坐标方程；（）若OAOB，求22已知函数（1）当a1
8、时，求yf（x）在（e，f（e）处切线方程；（2）讨论f（x）的单调区间；（3）试判断a1时f（x）0的实根个数说明理由参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合U1，2，3，4，5，6，7，集合Ax|3x7，xN，则UA（）A1，2B3，4，5，6，7C1，3，4，7D1，4，7解：U1，2，3，4，5，6，7，A3，4，5，6，7；UA1，2故选：A2若p是真命题，q是假命题，则（）Apq是真命题Bpq是假命题Cp是真命题Dq是真命题解：p是真命题，q是假命题，pq是假命题，选项A错误；pq是真命题，选项B错误；p是假命题，选项C错误；q是真命题，选项D正确故选：
9、D3下列命题为真命题的是（）A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“若x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2+3x40”的否命题D命题“若x21，则x1”的逆否命题解：对于A：命题“若xy，则x|y|”的逆命题为：若x|y|，即x为正数，则|xy，为真命题；对于B：命题“若x1，则x21”的否命题为：若x1，则x21，为假命题；对于C：命题“若x1，则x2+3x40”的否命题为：若x1，则x2+3x40为假命题；对于D：命题“若x21，则x1”的逆否命题为：若x1，则x21为假命题；故选：A4已知a，bR，则“ab”是“a+2b+1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分
10、必要条件D既不充分又不必要条件解：因为ab，所以ab1，即有a+2b+1，当a+2b+1，即ab1，不一定推出ab，比如：ab1，满足ab1，但是ab不成立，因此“ab”是“a+2b+1”的充分而不必要条件故选：A5已知命题p：x0，exx+1，则命题p为（）Ax0，exx+1Bx0，exx+1Cx0，exx+1Dx0，exx+1解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，命题p：x0，exx+1，则命题p为：x0，exx+1故选：C6设复数z（12i）（2+i），则|z|（）A3BCD5解：z（12i）（2+i）2+i4i+243i，|z|故选：D7某校甲、乙课外活动小组
11、（两小组人数相等）20次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲、乙两组平均成绩分别用，表示，标准差分别用s1，s2表示，则（）ABCD解：由茎叶图中的数据可得，（285+291+295+300+304+306+311+312+322+324+325+326+330+333+337+343+345+354+356+362）305.8，（292+304+311+312+322+323+326+331+332+334+335+340+342+345+346+347+352+353+354+365）333.3，所以，根据集中定律，由茎叶图可得，乙组的集中程度明显比甲组高，故s1s2故选：C8
12、下列数中，表示同一个函数的是（）Ayx2与 Byx2与 yt2CD解：Ayx2的定义域为R，的定义域为0，+），定义域不同，不是同一个函数；Byx2与yt2显然是同一个函数；C.的定义域为x|x0，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；D.的定义域为1，+），的定义域为（，11，+），定义域不同，不是同一个函数故选：B9已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）f（8+x），当x0，4时，f（x），则f（f（2020）（）A8B6C0D6解：定义域为R的函数f（x）满足f（x）f（8+x），T8，f（2020）f（8252+4）f（4），当x0，4时f（x），f（4）0，f（f（2020）f
13、（0）3010，故选：C10已知f（x）ax2+bx是定义在b3，b+1上的奇函数，那么a+b的值为（）AB1CD解：根据题意，f（x）ax2+bx是定义在b3，b+1上的奇函数，则有（b3）+（b+1）2b20，解可得b1，故f（x）ax2+x是定义在2，2上的奇函数，则f（x）f（x），故有ax2xax2x，必有a0，故a+b1，故选：B11函数yf（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A（1，3）为函数yf（x）的递增区间B（3，5）为函数yf（x）的递减区间C函数yf（x）在x0处取得极大值D函数yf（x）在x5处取得极小值解：由函数yf（x）导函数的图象可知：当x1及3x
14、5时，f（x）0，f（x）单调递减；当1x3及x5时，f（x）0，f（x）单调递增所以f（x）的单调减区间为（，1），（3，5）；单调增区间为（1，3），（5，+），f（x）在x1，5取得极小值，在x3处取得极大值，故选项C错误；故选：C12已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A4a0Ba2C4a2Da0解：函数是R上的增函数，则，求得4a2，故选：C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现利用随机数表对生产的50只口罩进行抽样检测，先将50个零件进行编号为01，02，03，50，从中抽取10个样本，如图提供随机数表的第2行到第4行
15、若从表中第3行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是2832 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 15 53 31 34 57 86 01 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45解：从表中第3行第4列开始向右读取数据，依次为：21,33,13,45,28，所以得到的第
16、5个样本的编号是28故答案为：2814设函数f（x）x2x2，x5，5，那么任取一点x0，使f（x0）0的概率为解：由题意，本题符合几何概型，区间5，5长度为10，使f（x0）0即x2x20的区间为1，2，长度为3，由几何概型公式得到，使f（x0）0的概率为；故答案为：15已知幂函数f（x）x过点（4，2），则f（9）3解：幂函数f（x）x过点（4，2），42，f（x），f（9）3，故答案为：316设函数，则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围 （，1）解：f（x）（x）2x2f（x），则f（x）是偶函数，当x0时，f（x）x2为增函数，则f（x）f（2x1）等价为f（|x|）f（|2x
17、1|），得|x|2x1|，平方得x24x24x+1，即3x24x+10，得（x1）（3x1）0，得x1，即x的取值范围是（，1），故答案为：（，1）三、解答题：（本大题共6小题，共70分。）17在平面直角坐标系xOy中，直线l参数方程为（t为参数）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为4cos（）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（）若点P坐标为（1，1），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值解：（）直线l参数方程为（t为参数）直线l消去参数t可得直线l的普通方程为x+y20，圆C的方程为4cos，即24cos，圆C的直角坐标方程为（x2）2+y2
18、4（）将直线l参数方程，代入（x2）2+y24，得t2+220，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t120，t1t220，|PA|+|PB|t1t2|418质检部门抽查1000个某机械零件的半径（单位：厘米），经统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间4，5），5，6），6，7），7，8），8，9），9，10（1）请根据频率分布直方图估计零件的半径在区间7，9）的零件个数；（2）求这1000个零件半径尺寸数据的中位数解：（1）由图可得零件的半径在7，9）的频率为1（0.28+0.232）0.512，故零件的半径在区间7，9）的零件个数为10000.512512个；（2
19、）4，7）的频率为：（0.04+0.06+0.232）10.332，7，8）的频率为0.28，设中位数为x，则0.332+（x7）10.5，解得x7.168，所以中位数为：7.16819在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinAsinB+sin2Csin2A+sin2B（1）求角C的大小；（2）若c2，求ABC面积的最大值解：（1）由正弦定理得ab+c2a2+b2，即a2+b2c2ab，即cosC，则C（2）由（1）知，c2a2+b2ab2ababab，c2，ab4当且仅当ab时取等号，则三角形面积SabsinC4，即三角形的面积的最大值是20新能源汽车是指除汽油、柴油发
20、动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标新能源汽车也越来越受到消费者的青睐某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：购置新能源汽车购置传统燃油汽车合计男性10020120女性503080合计15050200（1）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车
21、主中至少有1位女性车主的概率附：K2，na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828解：（）K210.828，有99.9%的把握认为购置新能源汽车与性别有关，（）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，男性4人，记为a，b，c，d，女性2人，记为1，2，选取2名学生共有（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2），共15种，符合题意有9种，所以这2位获赠礼品的车主
22、中至少有1位女性车主的概率21在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于A，B两点、以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C的极坐标方程；（）若OAOB，求解：（）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为（）设A（1，1），B（2，2），由于OAOB，所以，所以，则22已知函数（1）当a1时，求yf（x）在（e，f（e）处切线方程；（2）讨论f（x）的单调区间；（3）试判断a1时f（x）0的实根个数说明理由解：（1）函数的导数为f（x）ax（a+1）+，当a1时，yf（x）在（e，f（e）处切线斜率为，切点为（e，
23、e22e+1），可得切线方程为y（e22e+1）（xe），即为yxe2；（2）f（x）ax（a+1）+，x0，当a0时，f（x），可得f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+）；当a1时，f（x）0，可得f（x）的增区间为（0，+）；当a1时，01，可得f（x）的增区间为（0，），（1，+），减区间为（，1）；当0a1，1，可得f（x）的增区间为（0，1），（，+），减区间为（1，）；当a0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+）；（3）a1时f（x）0的实根个数为1，a1时，01，可得f（x）的增区间为（0，），（1，+），减区间为（，1），可得f（x）的极小值为f（1）10，极大值为f（）1lna0，且x+，f（x）+，可得f（x）0的实根为1个